Um aeronave suspeita voa horizontalmente a uma altitude de 1.5 km e tem velocidade de 350 km / h, no momento que passa por um sistema de defesa do tipo Terra-Ar. A que taxa está variando a distância entre a aeronave e o sistema, 10 segundos depois?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma aeronave que está voando de forma horizontal a uma altitude de 1,5 km e com uma velocidade de 350 km/h. Ela passa por um sistema de defesa Terra-Ar, e queremos descobrir a que velocidade está mudando a distância entre a aeronave e esse sistema 10 segundos depois. Vamos usar conceitos de cinemática e taxas relacionadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema internacional para facilitar os cálculos. A velocidade da aeronave está em km/h, e o tempo está em segundos. Vamos converter a velocidade para metros por segundo (m/s).
Sabemos que:
1 , km = 1000 , m
1 , hora = 3600 , segundos
Então:
350 , km/h = 350 times 10003600 , m/s approx 97,22 , m/s

Passo 3

Agora, vamos visualizar a situação. A aeronave está voando horizontalmente a uma altura constante de 1,5 km (1500 metros). O sistema de defesa Terra-Ar está no solo. Depois que a aeronave passa pelo sistema, ela continua se afastando horizontalmente. Queremos saber como a distância entre a aeronave e o sistema está mudando após 10 segundos.

Passo 4

Vamos chamar a distância horizontal percorrida pela aeronave após 10 segundos de $ x $. Como a aeronave está se movendo a 97,22 m/s, temos:
x
A altitude $ y $ da aeronave permanece constante em 1500 metros.

Passo 5

A distância total $ d $ entre a aeronave e o sistema pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras, já que formamos um triângulo retângulo com os catetos $ x $ e $ y $, e a hipotenusa $ d $:
d
Queremos encontrar a taxa de variação de $ d $ em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dd}{dt} $.

Passo 6

Vamos diferenciar a equação de $ d $ em relação ao tempo $ t $:
d
Simplificando:
t
Sabemos que $ \frac{dx}{dt} $ é a velocidade horizontal da aeronave, que é 97,22 m/s. Substituindo os valores:
dddt = 12(x^2 + y^2)^-1/2 times 2x dxdt

Passo 7

Vamos calcular o denominador:
raiz(972,2)^2 + (1500)^2 approx raiz945,218.84 + 2,250,000 approx raiz3,195,218.84 approx 1787,23 , m
Agora, substituindo na equação:
dddt = 972,2 times 97,221787,23 approx 94,397.31787,23 approx 52,78 , m/s

Resposta

A distância entre a aeronave e o sistema está aumentando a uma taxa de aproximadamente 52,78 metros por segundo 10 segundos depois.

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