Calcular o potencial e o campo gravitacional produzido por duas massas iguais separadas pela distância
. Expresse estas quantidades em coordenadas polares
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o potencial gravitacional e o campo gravitacional gerados por duas massas iguais separadas por uma distância de
, e expressar essas quantidades em coordenadas polares
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre potencial gravitacional, campo gravitacional e como somar os efeitos de duas fontes de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde estão as duas massas. Vamos supor que elas têm massa
cada e estão posicionadas ao longo do eixo
, uma em
e outra em
, já que a distância entre elas é
.
Passo 3
Agora, para encontrar o potencial gravitacional total em um ponto
, precisamos somar os potenciais gerados por cada massa individualmente. A fórmula do potencial gravitacional
devido a uma massa
em um ponto a uma distância
é:
Onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa, -
é a distância entre a massa e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 4
Vamos calcular a distância de cada massa ao ponto
. Usando coordenadas polares, a distância
da massa em
até
é dada por:
Da mesma forma, a distância
da massa em
até
é:
Passo 5
Agora, vamos somar os potenciais causados por cada massa:
Substituindo
e
:
Passo 6
Para encontrar o campo gravitacional, precisamos calcular o gradiente do potencial, ou seja, as derivadas parciais de
em relação a
e
. O campo gravitacional
em coordenadas polares é dado por:
Passo 7
Vamos calcular cada derivada:
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Segundo, a derivada de
em relação a
:
Passo 8
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do campo gravitacional:
Portanto, temos:
Resposta
O potencial gravitacional é dado por:
E o campo gravitacional é: