Calcular o potencial e o campo gravitacional produzido por duas massas iguais separadas pela distância 2 a. Expresse estas quantidades em coordenadas polares (r, theta).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o potencial gravitacional e o campo gravitacional gerados por duas massas iguais separadas por uma distância de , e expressar essas quantidades em coordenadas polares . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre potencial gravitacional, campo gravitacional e como somar os efeitos de duas fontes de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde estão as duas massas. Vamos supor que elas têm massa cada e estão posicionadas ao longo do eixo , uma em e outra em , já que a distância entre elas é .

Passo 3

Agora, para encontrar o potencial gravitacional total em um ponto V = -G md , precisamos somar os potenciais gerados por cada massa individualmente. A fórmula do potencial gravitacional devido a uma massa em um ponto a uma distância é:
Onde:
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa,
  • é a distância entre a massa e o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 4

Vamos calcular a distância de cada massa ao ponto d1 = raizr^2 + a^2 - 2 a r costheta . Usando coordenadas polares, a distância d2 = raizr^2 + a^2 + 2 a r costheta da massa em até é dada por:
Da mesma forma, a distância da massa em até é:

Passo 5

Agora, vamos somar os potenciais causados por cada massa:
Vtotal = -G md1 - G md2
Substituindo Vtotal = -G m ( 1raizr^2 + a^2 - 2 a r costheta + 1raizr^2 + a^2 + 2 a r costheta ) e :

Passo 6

Para encontrar o campo gravitacional, precisamos calcular o gradiente do potencial, ou seja, as derivadas parciais de g = -( partial Vpartial r r + 1r partial Vpartial theta theta ) em relação a e . O campo gravitacional em coordenadas polares é dado por:

Passo 7

Vamos calcular cada derivada:
Primeiro, a derivada de partial Vtotalpartial r = -G m ( r - a costheta(r^2 + a^2 - 2 a r costheta)^3/2 + r + a costheta(r^2 + a^2 + 2 a r costheta)^3/2 ) em relação a partial Vtotalpartial theta = -G m ( a r sintheta(r^2 + a^2 - 2 a r costheta)^3/2 - a r sintheta(r^2 + a^2 + 2 a r costheta)^3/2 ) :
Segundo, a derivada de em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do campo gravitacional:
g = -( partial Vtotalpartial r r + 1r partial Vtotalpartial theta theta )
Portanto, temos:
g = G m ( r - a costheta(r^2 + a^2 - 2 a r costheta)^3/2 + r + a costheta(r^2 + a^2 + 2 a r costheta)^3/2 ) r + G m ( a sintheta(r^2 + a^2 - 2 a r costheta)^3/2 - a sintheta(r^2 + a^2 + 2 a r costheta)^3/2 ) theta

Resposta

O potencial gravitacional é dado por:
Vtotal = -G m ( 1raizr^2 + a^2 - 2 a r costheta + 1raizr^2 + a^2 + 2 a r costheta )
E o campo gravitacional é:
g = G m ( r - a costheta(r^2 + a^2 - 2 a r costheta)^3/2 + r + a costheta(r^2 + a^2 + 2 a r costheta)^3/2 ) r + G m ( a sintheta(r^2 + a^2 - 2 a r costheta)^3/2 - a sintheta(r^2 + a^2 + 2 a r costheta)^3/2 ) theta

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