Calcular o potencial e o campo gravitacional produzido por duas massas iguais separadas pela distância . Expresse estas quantidades em coordenadas polares .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o potencial gravitacional e o campo gravitacional gerados por duas massas iguais separadas por uma distância de , e expressar essas quantidades em coordenadas polares . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre potencial gravitacional, campo gravitacional e como somar os efeitos de duas fontes de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde estão as duas massas. Vamos supor que elas têm massa cada e estão posicionadas ao longo do eixo , uma em e outra em , já que a distância entre elas é .

Passo 3

Agora, para encontrar o potencial gravitacional total em um ponto , precisamos somar os potenciais gerados por cada massa individualmente. A fórmula do potencial gravitacional devido a uma massa em um ponto a uma distância é:
Onde:
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa,
  • é a distância entre a massa e o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 4

Vamos calcular a distância de cada massa ao ponto . Usando coordenadas polares, a distância da massa em até é dada por:
Da mesma forma, a distância da massa em até é:

Passo 5

Agora, vamos somar os potenciais causados por cada massa:
Substituindo e :

Passo 6

Para encontrar o campo gravitacional, precisamos calcular o gradiente do potencial, ou seja, as derivadas parciais de em relação a e . O campo gravitacional em coordenadas polares é dado por:

Passo 7

Vamos calcular cada derivada:
Primeiro, a derivada de em relação a :
Segundo, a derivada de em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do campo gravitacional:
Portanto, temos:

Resposta

O potencial gravitacional é dado por:
E o campo gravitacional é:

Exercícios relacionados

Uma partícula de massa se pode deslizar livremente ao longo de um longo fio reto. está conectada a um ponto fixo , que está a uma distância do fio, por uma mola leve de comprimento natural e constante elástica . Encontre o período aproximado de pequenas oscilações de em torno de sua posição de equilíbrio.
Um oscilador harmônico satisfaz a equação: . Inicialmente, a partícula se encontra em enquanto se dirige em direção à origem com velocidade 2. Mostre que, no movimento subsequente
Deduza a amplitude das oscilações. Quanto tempo demora para a partícula atingir a origem?
Calcular o campo gravitacional produzido por uma camada fina de matéria distribuida sobre um plano infinito.
Uma partícula de massa se move no eixo sob a atração gravitacional de um disco circular uniforme de massa e raio . O campo de força atuando sobre a partícula é dado por
  • Calcular a energia potencial correspondente para .
  • Inicialmente, a partícula é liberada do repouso no ponto . Encontre a velocidade da partícula quando ela atinge o disco.