Uma partícula de massa m se move ao longo do eixo X e é influenciada pela força restauradora -m(n^2+k^2) x e pela força de resistência -2 m k dotx, onde n e k são constantes positivas. Se a partícula é liberada do repouso em x=a, mostre que, no movimento subsequente
x=an e^-k t(n cos n t+k sin n t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa m que se move no eixo X e está sujeita a duas forças: uma força restauradora -m(n^2+k^2)x e uma força de resistência -2mkdotx. A partícula é deixada em repouso na posição x = a. Nosso objetivo é mostrar que, depois de liberada, a posição da partícula no tempo t é dada por:
x = an e^-kt ( n cos nt + k sin nt )
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica (segunda lei de Newton) e equações diferenciais para modelar o movimento da partícula.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele vezes a aceleração:
Fresu
Aqui, ddotx é a segunda derivada de x em relação ao tempo, ou seja, a aceleração.

Passo 3

Agora, vamos somar as forças que atuam na partícula. Temos:
  • Força restauradora: -m(n^2+k^2)x
  • Força de resistência: -2mkdotx
A força total é a soma dessas duas:
Ftotal = -m(n^2+k^2)x - 2mkdotx
Segundo a segunda lei de Newton:
m ddotx = -m(n^2+k^2)x - 2mkdotx
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por m:
ddotx + 2kdotx + (n^2 + k^2)x = 0
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial, assumimos uma solução da forma x(t) = e^lambda t. Substituindo na equação, temos:
lambda^2 e^lambda t + 2k lambda e^lambda t + (n^2 + k^2) e^lambda t = 0
Dividindo por e^lambda t (que nunca é zero):
lambda^2 + 2k lambda + (n^2 + k^2) = 0
Resolvemos essa equação quadrática para lambda:
lambda = -2k pm raiz(2k)^2 - 4(n^2 + k^2) 2 = -k pm i n
Aqui, i é a unidade imaginária. As raízes complexas indicam que a solução geral será oscilatória, com amortecimento.
Então, a solução geral é:
x(t) = e^-kt ( C1 cos nt + C2 sin nt )

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os constantes C1 e C2.
  1. Condição inicial x(0) = a:
x(0) = e^0 (C1 cos 0 + C2 sin 0) = C1 = a
Então, C1 = a.
  1. Condição inicial dotx(0) = 0 (liberada do repouso):
Primeiro, calculamos a derivada de x(t):
dotx(t) = -k e^-kt (a cos nt + C2 sin nt) + e^-kt (-a n sin nt + C2 n cos nt)
Avaliado em t = 0:
dotx(0) = -k(a cos 0 + C2 sin 0) + (-a n sin 0 + C2 n cos 0) = -k a + C2 n = 0
Resolvendo para C2:
C2 = k an

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral:
x(t) = e^-kt ( a cos nt + k an sin nt ) = an e^-kt ( n cos nt + k sin nt )

Resposta

x = an e^-kt ( n cos nt + k sin nt )

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