Uma partícula de massa
se move ao longo do eixo
e é influenciada pela força restauradora
e pela força de resistência
, onde
e
são constantes positivas. Se a partícula é liberada do repouso em
, mostre que, no movimento subsequente
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa
que se move no eixo
e está sujeita a duas forças: uma força restauradora
e uma força de resistência
. A partícula é deixada em repouso na posição
. Nosso objetivo é mostrar que, depois de liberada, a posição da partícula no tempo
é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica (segunda lei de Newton) e equações diferenciais para modelar o movimento da partícula.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele vezes a aceleração:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo, ou seja, a aceleração.
Passo 3
Agora, vamos somar as forças que atuam na partícula. Temos:
- Força restauradora:
- Força de resistência:
A força total é a soma dessas duas:
Segundo a segunda lei de Newton:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 4
Para resolver essa equação diferencial, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Resolvemos essa equação quadrática para
:
Aqui,
é a unidade imaginária. As raízes complexas indicam que a solução geral será oscilatória, com amortecimento.
Então, a solução geral é:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os constantes
e
.
- Condição inicial
:
Então,
.
- Condição inicial
(liberada do repouso):
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Avaliado em
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral: