Uma partícula de massa se move ao longo do eixo e é influenciada pela força restauradora e pela força de resistência , onde e são constantes positivas. Se a partícula é liberada do repouso em , mostre que, no movimento subsequente

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa que se move no eixo e está sujeita a duas forças: uma força restauradora e uma força de resistência . A partícula é deixada em repouso na posição . Nosso objetivo é mostrar que, depois de liberada, a posição da partícula no tempo é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica (segunda lei de Newton) e equações diferenciais para modelar o movimento da partícula.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele vezes a aceleração:
Aqui, é a segunda derivada de em relação ao tempo, ou seja, a aceleração.

Passo 3

Agora, vamos somar as forças que atuam na partícula. Temos:
  • Força restauradora:
  • Força de resistência:
A força total é a soma dessas duas:
Segundo a segunda lei de Newton:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial, assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero):
Resolvemos essa equação quadrática para :
Aqui, é a unidade imaginária. As raízes complexas indicam que a solução geral será oscilatória, com amortecimento.
Então, a solução geral é:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os constantes e .
  1. Condição inicial :
Então, .
  1. Condição inicial (liberada do repouso):
Primeiro, calculamos a derivada de :
Avaliado em :
Resolvendo para :

Passo 6

Substituindo e na solução geral:

Resposta

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