Considere uma partícula oscilando sob a influência do potencial anarmônico
onde
é uma constante positiva e muito menor que
.
- Faça um gráfico de
. A curva é simétrica em torno de
?
- Obtenha a força como função de
e faça um gráfico esquemático.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que está oscilando sob a influência de um potencial anarmônico dado por:
Aqui,
é uma constante positiva bem menor que
. O que precisamos fazer é:
- Fazer um gráfico de
e verificar se a curva é simétrica em torno de . - Encontrar a força como função de
e fazer um gráfico esquemático dessa força.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um potencial anarmônico. Diferente do potencial harmônico, que é simétrico e tem a forma de uma parábola (
), o potencial anarmônico adiciona termos que quebram essa simetria. No nosso caso, temos o termo
.
Passo 3
Vamos plotar o gráfico de
. Para isso, observamos que:
- O termo
é uma parábola que é simétrica em torno de . - O termo
é um polinômio de terceiro grau que não é simétrico.
Quando somamos esses dois termos, o gráfico resultante não será simétrico em torno de
devido ao termo de terceiro grau que introduz uma inclinação assimétrica.
Passo 4
Como o gráfico de
não é simétrico, podemos concluir que a curva não é simétrica em torno de
. A presença do termo
quebra a simetria da parábola original.
Passo 5
Agora, vamos obter a força como função de
. Sabemos que a força é relacionada ao potencial pela relação:
Então, precisamos derivar
em relação a
.
Passo 6
Vamos derivar
:
Portanto, a força é:
Passo 7
Agora, vamos fazer um gráfico esquemático de
. Observando os termos:
-
é uma força linear que decresce à medida que aumenta. -
é uma força que cresce com o quadrado de .
No gráfico, para valores pequenos de
, o termo
domina, fazendo com que a força seja negativa. À medida que
aumenta, o termo
pode compensar ou até superar o termo
, dependendo dos valores de
e
.
Resposta
- O gráfico de
não é simétrico em torno de devido ao termo anarmônico . - A força como função de
é . O gráfico esquemático dessa força mostra que inicialmente a força é negativa para pequenos valores de , mas à medida que aumenta, o termo faz com que a força possa se tornar positiva.