Considere uma partícula oscilando sob a influência do potencial anarmônico
U(x)=12 k x^2-13 a x^3
onde a é uma constante positiva e muito menor que k.
  • Faça um gráfico de U(x). A curva é simétrica em torno de x=0 ?
  • Obtenha a força como função de x e faça um gráfico esquemático.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que está oscilando sob a influência de um potencial anarmônico dado por:
U(x) = 12 k x^2 - 13 a x^3
Aqui, a é uma constante positiva bem menor que k. O que precisamos fazer é:
  1. Fazer um gráfico de U(x) e verificar se a curva é simétrica em torno de x=0.
  2. Encontrar a força como função de x e fazer um gráfico esquemático dessa força.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um potencial anarmônico. Diferente do potencial harmônico, que é simétrico e tem a forma de uma parábola ( U(x) = 12 k x^2), o potencial anarmônico adiciona termos que quebram essa simetria. No nosso caso, temos o termo -13 a x^3.

Passo 3

Vamos plotar o gráfico de U(x) = 12 k x^2 - 13 a x^3. Para isso, observamos que:
  • O termo 12 k x^2 é uma parábola que é simétrica em torno de x=0.
  • O termo -13 a x^3 é um polinômio de terceiro grau que não é simétrico.
Quando somamos esses dois termos, o gráfico resultante não será simétrico em torno de x=0 devido ao termo de terceiro grau que introduz uma inclinação assimétrica.

Passo 4

Como o gráfico de U(x) não é simétrico, podemos concluir que a curva não é simétrica em torno de x=0. A presença do termo x^3 quebra a simetria da parábola original.

Passo 5

Agora, vamos obter a força como função de x. Sabemos que a força é relacionada ao potencial pela relação:
F(x) = -dUdx
Então, precisamos derivar U(x) em relação a x.

Passo 6

Vamos derivar U(x):
dUdx = ddx ( 12 k x^2 - 13 a x^3 ) = k x - a x^2
Portanto, a força é:
F(x) = -( k x - a x^2 ) = -k x + a x^2

Passo 7

Agora, vamos fazer um gráfico esquemático de F(x) = -k x + a x^2. Observando os termos:
  • -k x é uma força linear que decresce à medida que x aumenta.
  • a x^2 é uma força que cresce com o quadrado de x.
No gráfico, para valores pequenos de x, o termo -k x domina, fazendo com que a força seja negativa. À medida que x aumenta, o termo a x^2 pode compensar ou até superar o termo -k x, dependendo dos valores de a e k.

Resposta

  1. O gráfico de U(x) = 12 k x^2 - 13 a x^3 não é simétrico em torno de x=0 devido ao termo anarmônico -13 a x^3.
  2. A força como função de x é F(x) = -k x + a x^2. O gráfico esquemático dessa força mostra que inicialmente a força é negativa para pequenos valores de x, mas à medida que x aumenta, o termo a x^2 faz com que a força possa se tornar positiva.

Exercícios relacionados