Demostre que
é, na realidade, a solução para o amortecimento crítico, supondo uma solução da forma
e determinando a função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função
é a solução para o amortecimento crítico. Para isso, vamos usar uma solução assumida na forma
Então, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais que descrevem sistemas amortecidos e como encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação diferencial para um sistema com amortecimento. No caso do amortecimento crítico, a equação diferencial é:
Esse tipo de equação descreve sistemas onde o amortecimento é exatamente o suficiente para evitar oscilações, mas ainda assim retornar ao equilíbrio sem oscilar.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a solução tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar . Para isso, precisamos calcular as derivadas de e substituir na equação diferencial.

Passo 4

Calculando a primeira derivada de :
E a segunda derivada:

Passo 5

Substituindo , e na equação diferencial:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Observamos que alguns termos se cancelam:

Passo 7

Como nunca é zero, podemos dividir os dois lados por ele:
Essa é uma equação diferencial simples, cuja solução geral é:
onde e são constantes de integração.

Passo 8

Agora que temos , podemos substituir de volta na forma assumida da solução:

Resposta

Portanto, mostramos que a solução para o amortecimento crítico é realmente

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