Demostre que
é, na realidade, a solução para o amortecimento crítico, supondo uma solução da forma
e determinando a função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função
é a solução para o amortecimento crítico. Para isso, vamos usar uma solução assumida na forma
Então, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais que descrevem sistemas amortecidos e como encontrar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação diferencial para um sistema com amortecimento. No caso do amortecimento crítico, a equação diferencial é:
Esse tipo de equação descreve sistemas onde o amortecimento é exatamente o suficiente para evitar oscilações, mas ainda assim retornar ao equilíbrio sem oscilar.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a solução tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar
. Para isso, precisamos calcular as derivadas de
e substituir na equação diferencial.
Passo 4
Calculando a primeira derivada de
:
E a segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Observamos que alguns termos se cancelam:
Passo 7
Como
nunca é zero, podemos dividir os dois lados por ele:
Essa é uma equação diferencial simples, cuja solução geral é:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 8
Agora que temos
, podemos substituir de volta na forma assumida da solução:
Resposta
Portanto, mostramos que a solução para o amortecimento crítico é realmente