Demostre que
x(t)=(A+B t) e^-gamma t
é, na realidade, a solução para o amortecimento crítico, supondo uma solução da forma
x(t)=y(t) e^-gamma t
e determinando a função y(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função
x(t) = (A + B t) e^-gamma t
é a solução para o amortecimento crítico. Para isso, vamos usar uma solução assumida na forma
x(t) = y(t) e^-gamma t
Então, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais que descrevem sistemas amortecidos e como encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação diferencial para um sistema com amortecimento. No caso do amortecimento crítico, a equação diferencial é:
d^2xdt^2 + 2gamma dxdt + gamma^2 x = 0
Esse tipo de equação descreve sistemas onde o amortecimento é exatamente o suficiente para evitar oscilações, mas ainda assim retornar ao equilíbrio sem oscilar.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a solução tem a forma:
x(t) = y(t) e^-gamma t
Nosso objetivo é encontrar . Para isso, precisamos calcular as derivadas de e substituir na equação diferencial.

Passo 4

Calculando a primeira derivada de dxdt = dydt e^-gamma t - gamma y(t) e^-gamma t :
d^2xdt^2 = d^2ydt^2 e^-gamma t - 2gamma dydt e^-gamma t + gamma^2 y(t) e^-gamma t
E a segunda derivada:

Passo 5

Substituindo ( d^2ydt^2 e^-gamma t - 2gamma dydt e^-gamma t + gamma^2 y(t) e^-gamma t ) + 2gamma ( dydt e^-gamma t - gamma y(t) e^-gamma t ) + gamma^2 y(t) e^-gamma t = 0 , e na equação diferencial:

Passo 6

Simplificando a expressão:
d^2ydt^2 e^-gamma t - 2gamma dydt e^-gamma t + gamma^2 y(t) e^-gamma t + 2gamma dydt e^-gamma t - 2gamma^2 y(t) e^-gamma t + gamma^2 y(t) e^-gamma t = 0
Observamos que alguns termos se cancelam:
d^2ydt^2 e^-gamma t = 0

Passo 7

Como d^2ydt^2 = 0 nunca é zero, podemos dividir os dois lados por ele:
y(t) = A + B t
Essa é uma equação diferencial simples, cuja solução geral é:
onde e são constantes de integração.

Passo 8

Agora que temos x(t) = (A + B t) e^-gamma t , podemos substituir de volta na forma assumida da solução:

Resposta

Portanto, mostramos que a solução para o amortecimento crítico é realmente
x(t) = (A + B t) e^-gamma t

Exercícios relacionados