Uma partícula de massa de repouso e energia cinética colide com uma partícula estacionária, de massa de repouso . Se a partícula sofre um espalhamento de e tem momento relativístico após a colisão, mostre que, após a colisão, a partícula tem momento relativístico , e faz um ângulo com a direção da partícula incidente, tal que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma colisão relativística onde uma partícula de massa está se movendo com uma energia cinética e bate em outra partícula de massa que está parada. Depois da colisão, a partícula desvia em e tem um novo momento . Nosso objetivo é mostrar:
O momento da partícula após a colisão é .
A partícula faz um ângulo com a direção original da partícula , onde .
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação do momento linear e momentum relativístico. Não precisa se preocupar, a gente vai passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em colisões, o momentum total antes da colisão é igual ao momentum total depois da colisão, tanto na direção horizontal quanto na vertical.
Como a partícula está parada inicialmente, o momentum total antes da colisão é apenas o da partícula . O momentum relativístico é dado por:
Onde:
é o momentum
é a massa da partícula
é a velocidade
é o fator de Lorentz
Mas como vamos trabalhar com energia cinética , podemos relacionar isso com o momentum.
Passo 3
Vamos expressar a energia cinética relativística. A energia total de uma partícula é:
A energia cinética é:
Dessa forma, podemos relacionar com :
Isso será útil para relacionar energia e momentum.
Passo 4
Agora, aplicando a conservação do momentum. Vamos separar o momentum em componentes horizontal e vertical.
Antes da colisão:
Momentum horizontal:
Momentum vertical:
Depois da colisão:
Momentum da partícula : na direção vertical (porque desviou )
Momentum da partícula : em algum ângulo
Assim, temos duas equações de conservação:
Horizontal:
Vertical:
Passo 5
Vamos resolver essas duas equações para encontrar e .
Primeiro, da equação horizontal:
Da equação vertical:
Agora, vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar :
Simplificando:
Como estamos interessados em um ângulo positivo, descartamos o sinal negativo e ficamos com:
Passo 6
Agora, precisamos relacionar com os dados do problema. Sabemos que a energia cinética está relacionada com o momentum pela relação relativística:
E também:
Mas podemos expressar em termos de :
Isso simplifica para:
Passo 7
Substituindo na expressão do ângulo :
Isso confirma a segunda parte do que precisamos mostrar sobre o ângulo theta.
Passo 8
Agora, vamos encontrar o momentum p2. Da conservação do momentum, temos:
p2 = raizp1^2 + p1^prime^2
Substituindo p1 pela expressão que encontramos:
p2 = raizp1^prime^2 + 2 K1 m1 + K1^2c^2
Isso confirma a primeira parte do que precisamos mostrar sobre o momentum p2.
Resposta
Após a colisão, a partícula m2 tem momento relativístico igual a raizp1^prime^2 + 2 K1 m1 + K1^2c^2 e faz um ângulo theta = tan^-1[p1^primeraiz2 K1 m1 + K1^2c^2] com a direção da partícula incidente.