Uma partícula de massa de repouso m1 e energia cinética K1 colide com uma partícula estacionária, de massa de repouso m2. Se a partícula m1 sofre um espalhamento de 90^circ e tem momento relativístico p1^prime após a colisão, mostre que, após a colisão, a partícula m2 tem momento relativístico raizp1^prime^2+2 K1 m1+K1^2 / c^2, e faz um ângulo theta com a direção da partícula incidente, tal que theta=tan ^-1[p1^primeraiz2 K1 m1+K1^2 / c^2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma colisão relativística onde uma partícula de massa m1 está se movendo com uma energia cinética K1 e bate em outra partícula de massa m2 que está parada. Depois da colisão, a partícula m1 desvia em 90^circ e tem um novo momento p1^prime. Nosso objetivo é mostrar:
  1. O momento da partícula m2 após a colisão é .
  2. A partícula raizp1^prime^2+2 K1 m1+K1^2 / c^2 faz um ângulo m2 com a direção original da partícula theta, onde m1.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação do momento linear e momentum relativístico. Não precisa se preocupar, a gente vai passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em colisões, o momentum total antes da colisão é igual ao momentum total depois da colisão, tanto na direção horizontal quanto na vertical.
Como a partícula m2 está parada inicialmente, o momentum total antes da colisão é apenas o da partícula m1. O momentum relativístico é dado por:
p = gamma m v
Onde:
  • p é o momentum
  • m é a massa da partícula
  • v é a velocidade
  • gamma = 1raiz1 - v^2c^2 é o fator de Lorentz
Mas como vamos trabalhar com energia cinética K1, podemos relacionar isso com o momentum.

Passo 3

Vamos expressar a energia cinética relativística. A energia total E de uma partícula é:
E = gamma m c^2
A energia cinética K é:
K = E - m c^2 = (gamma - 1) m c^2
Dessa forma, podemos relacionar gamma com K:
gamma = 1 + Km c^2
Isso será útil para relacionar energia e momentum.

Passo 4

Agora, aplicando a conservação do momentum. Vamos separar o momentum em componentes horizontal e vertical.
Antes da colisão:
  • Momentum horizontal: p1 = gamma1 m1 v1
  • Momentum vertical: 0
Depois da colisão:
  • Momentum da partícula m1: p1^prime na direção vertical (porque desviou 90^circ)
  • Momentum da partícula m2: p2 em algum ângulo theta
Assim, temos duas equações de conservação:
  1. Horizontal:
p1 = p2 cos theta
  1. Vertical:
0 = p1^prime + p2 sin theta

Passo 5

Vamos resolver essas duas equações para encontrar p2 e theta.
Primeiro, da equação horizontal:
p2 cos theta = p1
Da equação vertical:
p2 sin theta = -p1^prime
Agora, vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar p2:
p2 sin thetap2 cos theta = -p1^primep1
Simplificando:
tan theta = -p1^primep1
Como estamos interessados em um ângulo positivo, descartamos o sinal negativo e ficamos com:
theta = tan^-1(p1^primep1)

Passo 6

Agora, precisamos relacionar p1 com os dados do problema. Sabemos que a energia cinética K1 está relacionada com o momentum p1 pela relação relativística:
K1 = (gamma1 - 1) m1 c^2
E também:
Mas podemos expressar p1 = gamma1 m1 v1 = raizgamma1^2 m1^2 v1^2 em termos de p1:
Isso simplifica para:
K1

Passo 7

Substituindo p1 na expressão do ângulo theta:
theta = tan^-1(p1^primeraiz2 K1 m1 + K1^2c^2)
Isso confirma a segunda parte do que precisamos mostrar sobre o ângulo theta.

Passo 8

Agora, vamos encontrar o momentum p2. Da conservação do momentum, temos:
p2 = raizp1^2 + p1^prime^2
Substituindo p1 pela expressão que encontramos:
p2 = raizp1^prime^2 + 2 K1 m1 + K1^2c^2
Isso confirma a primeira parte do que precisamos mostrar sobre o momentum p2.

Resposta

Após a colisão, a partícula m2 tem momento relativístico igual a raizp1^prime^2 + 2 K1 m1 + K1^2c^2 e faz um ângulo theta = tan^-1[p1^primeraiz2 K1 m1 + K1^2c^2] com a direção da partícula incidente.

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