Uma partícula, com a massa de 1 g , vibra em movimento harmônico simples sendo que a amplitude do movimento é de 2 mm . A aceleração nos pontos extremos da trajetória é de
8,0 times 10^3 m / s^2. Calcule: (a) a frequência do movimento, (b) a velocidade da partícula quando ela passa pelo ponto de equilíbrio e © a velocidade da partícula quando ela passa pelo ponto de elongação 1,2 mm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula de 1 grama que está vibrando em um movimento harmônico simples (MHS). A amplitude dessa vibração é de 2 milímetros, e a aceleração nos pontos mais extremos da trajetória é de . Precisamos calcular três coisas:
(a) A frequência do movimento,
(b) A velocidade da partícula quando ela passa pelo ponto de equilíbrio,
© A velocidade da partícula quando ela passa pelo ponto de elongação de 1,2 milímetros.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, como frequência, amplitude, aceleração e velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a frequência do movimento.
No movimento harmônico simples, a aceleração máxima ( amáx = omega^2 times A á) está relacionada à amplitude ( omega = raizamáxA = raiz8,0 times 10^30,002 = raiz4,0 times 10^6 = 2,0 times 10^3 , rad/s ) e à frequência angular ( f = omega2pi ) pela fórmula:
f = 2,0 times 10^32pi approx 2,0 times 10^36,2832 approx 318,3 , Hz á
Aqui, sabemos que:
  • á
Vamos isolar :
á
Agora, a frequência ( ) está relacionada à frequência angular pela fórmula:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade da partícula no ponto de equilíbrio.
No MHS, a velocidade máxima ( vmáx = omega times A á) ocorre no ponto de equilíbrio e está relacionada à amplitude e à frequência angular pela fórmula:
vmáx = 2,0 times 10^3 times 0,002 = 4,0 , m/s á
Substituindo os valores:
á
Então, a velocidade da partícula ao passar pelo ponto de equilíbrio é de 4,0 m/s.

Passo 4

Finalmente, vamos determinar a velocidade da partícula quando ela está a 1,2 mm do ponto de equilíbrio.
Primeiro, convertendo 1,2 mm para metros:
x = 1,2 , mm = 0,0012 , m
A velocidade em qualquer ponto do MHS pode ser calculada usando a fórmula:
v = omega times raizA^2 - x^2
Substituindo os valores:
v = 2,0 times 10^3 times raiz(0,002)^2 - (0,0012)^2 = 2,0 times 10^3 times raiz4 times 10^-6 - 1,44 times 10^-6 = 2,0 times 10^3 times raiz2,56 times 10^-6 approx 2,0 times 10^3 times 0,0016 = 3,2 , m/s
Então, a velocidade da partícula a 1,2 mm do ponto de equilíbrio é de 3,2 m/s.

Resposta

(a) A frequência do movimento é aproximadamente 318,3 Hz.
(b) A velocidade da partícula no ponto de equilíbrio é 4,0 m/s.
© A velocidade da partícula a 1,2 mm do ponto de equilíbrio é 3,2 m/s.

Exercícios relacionados