Encontre o potencial elétrico de uma esfera uniformemente carregada com raio R e carga total Q em todo o espaço. Use o infinito como sua referência. Depois, a partir do gradiente, ache o campo elétrico. Por fim, mostre um gráfico do potencial elétrico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o potencial elétrico de uma esfera carregada de maneira uniforme, com raio e carga total , em todo o espaço. Depois, a partir desse potencial, vamos descobrir o campo elétrico usando o gradiente. Por fim, vamos mostrar um gráfico do potencial elétrico. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de eletrostática, especialmente sobre distribuição de carga e relação entre potencial e campo elétrico. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o potencial elétrico V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qr fora da esfera, ou seja, para . Para uma distribuição de carga esférica uniforme, o potencial externo é o mesmo que se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera. A fórmula do potencial elétrico em um ponto a uma distância do centro é:
Aqui, é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o potencial elétrico dentro da esfera, ou seja, para V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Q2R (3 - r^2R^2) . Dentro da esfera carregada uniformemente, o potencial varia de forma diferente. A expressão para o potencial dentro é:
Essa fórmula leva em conta que a carga está distribuída uniformemente, o que faz o potencial variar quadraticamente com a distância até o centro.

Passo 4

Agora que temos o potencial elétrico, vamos encontrar o campo elétrico E(r) = -nabla V(r) = -dVdr r usando o gradiente do potencial. Em coordenadas esféricas, o campo elétrico está na direção radial e é dado por:
E(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qr^2
Vamos calcular derivando E(r) = 14pivarepsilon0 cdot QR^3 cdot r em cada região.
Para :
Para :
Essas expressões mostram que fora da esfera o campo elétrico diminui com o quadrado da distância, e dentro da esfera ele cresce linearmente com a distância em relação ao centro.

Passo 5

Por fim, vamos pensar no gráfico do potencial elétrico . Ele terá duas partes:
  1. Para : O potencial diminui de forma inversamente proporcional a , criando uma curva decrescente.
  2. Para : O potencial varia quadraticamente, começando do valor máximo na superfície e diminuindo até o centro.
Esse gráfico mostra uma transição suave na interface e reflete como a distribuição de carga afeta o potencial no espaço ao redor e dentro da esfera.

Resposta

O potencial elétrico V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Q2R (3 - r^2R^2) & para r <= R, 14pivarepsilon0 cdot Qr & para r >= R da esfera carregada uniformemente é dado por:
E(r) = 14pivarepsilon0 cdot QR^3 cdot r , r & para r <= R, 14pivarepsilon0 cdot Qr^2 , r & para r >= R
O campo elétrico é:
O gráfico do potencial elétrico mostra uma curva que decresce inversamente com fora da esfera e varia quadraticamente dentro dela, com uma transição suave na superfície .

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