Uma partícula se move de acordo com a equação x=3+4 t+6 t^2+4 t^3. Encontre a velocidade e aceleração para qualquer tempo. Quando a velocidade é igual a 10 m / s ? Quanto vale a sua aceleração nesse instante? (Resp.: t=0,37 s e a=21 m / s^2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula descrito pela posição . A gente vai usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem considerar suas causas. Precisamos encontrar as expressões para velocidade e aceleração em qualquer tempo , e depois descobrir em que instante a velocidade é 10 m/s e qual a aceleração nesse momento.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, se v(t) = dxdt = 4 + 12t + 12t^2 , a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Então, derivando a(t) = dvdt = 12 + 24t :

Passo 4

A próxima etapa é descobrir em que instante a velocidade é igual a 10 m/s. Vamos igualar 4 + 12t + 12t^2 = 10 a 10 e resolver para 12t^2 + 12t - 6 = 0 :
2t^2 + 2t - 1 = 0
Subtraindo 10 de ambos os lados:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Dividindo todos os termos por 6 para simplificar:
t = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 2 cdot (-1)2 cdot 2 = -2 pm raiz4 + 84 = -2 pm raiz124 = -2 pm 2raiz34 = -1 pm raiz32
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t = -1 + raiz32 approx 0,37 s
Onde , , e :
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a aceleração nesse instante a(0,37) = 12 + 24 cdot 0,37 = 12 + 8,88 = 20,88 m/s^2 . Usando a expressão de :
Arredondando, temos aproximadamente .

Resposta

e .

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