Uma partícula se move de acordo com a função s(t) = 5t^2 + 2t - 3. Determine a velocidade e a aceleração em t = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que diz assim: “Uma partícula se move de acordo com a função . Determine a velocidade e a aceleração em .” A matéria envolvida aqui é o cálculo, especificamente o estudo de derivadas, que nos ajuda a encontrar a velocidade e a aceleração a partir da função de posição.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a velocidade da partícula em qualquer instante , precisamos calcular a primeira derivada da função de posição . A derivada da posição em relação ao tempo nos dá a velocidade.

Passo 3

Depois, para descobrir a aceleração, que é a taxa de variação da velocidade, calculamos a segunda derivada da função de posição . Isso significa derivar a função de velocidade obtida no passo anterior.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  1. Derivada da posição (velocidade):
    v(t) = s'(t) = ddt(5t^2 + 2t - 3) = 10t + 2
  2. Derivada da velocidade (aceleração):
    a(t) = v'(t) = ddt(10t + 2) = 10

Passo 5

Agora, substituímos v(2) = 10(2) + 2 = 20 + 2 = 22 nas expressões que encontramos:
  1. Velocidade em a(2) = 10 :
  2. Aceleração em :

Resposta

Em , a velocidade da partícula é 22 unidades de posição por unidade de tempo e a aceleração é 10 unidades de posição por unidade de tempo ao quadrado.

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