Uma partícula de massa
move-se em uma órbita espiral dada pela equação
, em que
é constante. Usando a equação da trajetória mostre que a força é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício diz que uma partícula de massa $ m $ está se movendo em uma órbita espiral descrita pela equação $ r = k \theta $. Nosso objetivo é, usando essa trajetória, mostrar que a força que atua na partícula é dada por:
Vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente movimento em coordenadas polares e conservação do momento angular. Então, vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a trajetória da partícula. A equação $ r = k \theta $ descreve uma espiral onde $ r $ aumenta com $ \theta $. Aqui, $ k $ é uma constante que determina o quão “aberta” é a espiral.
Passo 3
Para analisar o movimento, é útil usar as coordenadas polares $ (r, \theta) $. Nessa abordagem, a posição da partícula é descrita por $ r(t) $ e $ \theta(t) $, dependendo do tempo.
Passo 4
Vamos calcular a velocidade da partícula. Em coordenadas polares, a velocidade $ \vec{v} $ tem componentes radial e angular:
Mas como $ r = k \theta $, podemos diferenciar em relação ao tempo:
Então, a velocidade fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a aceleração $ \vec{a} $. A aceleração em coordenadas polares é dada por:
Substituindo $ \frac{dr}{dt} = k \frac{d\theta}{dt} $ e derivando novamente:
Então, a aceleração fica:
Passo 6
Agora, vamos lembrar que a força $ \vec{F} $ que atua na partícula está relacionada à aceleração pela segunda lei de Newton:
Então, substituindo a aceleração que encontramos:
Passo 7
Para simplificar, vamos assumir que a força radial domina e que a partícula está em movimento circular aparente. Além disso, vamos usar a conservação do momento angular $ L $:
Isolando $ \frac{d\theta}{dt} $:
Passo 8
Agora, vamos substituir $ \frac{d\theta}{dt} $ na expressão da força. Primeiro, calculamos $ \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2 $:
E derivando $ \frac{d\theta}{dt} $ em relação ao tempo:
Passo 9
Substituindo $ \frac{d\theta}{dt} $ e $ \frac{d^2 \theta}{dt^2} $ na expressão da força radial:
Mas percebemos que o primeiro termo deve ter $ m $ no denominador, ajustando:
Resposta
A força que atua na partícula é dada por: