Uma partícula se move ao longo do eixo x de modo que sua posição é descrita por x(t)=-10+2t+3t², em que o tempo está em segundos e a posição, em metros. Calcule o módulo da velocidade média, em metros por segundo, no intervalo entre t=1 s e t=2 s, e a velocidade no instante 5 s.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo x, e a posição dela em função do tempo é dada por $ x(t) = -10 + 2t + 3t^2 $. Nosso objetivo é calcular duas coisas:
- O módulo da velocidade média entre $ t = 1 $ segundo e $ t = 2 $ segundos.
- A velocidade no instante de $ t = 5 $ segundos.
Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de cinemática, como velocidade média e velocidade instantânea, e usar derivadas para achar a velocidade em um ponto específico no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade média entre $ t = 1 $ s e $ t = 2 $ s. A velocidade média é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo. A fórmula é:
Aqui, $ t_1 = 1 $ s e $ t_2 = 2 $ s.
Passo 3
Vamos calcular $ x(1) $ e $ x(2) $ usando a função de posição $ x(t) $:
Para $ t = 1 $ s:
Para $ t = 2 $ s:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da velocidade média usando os valores que encontramos:
Como o enunciado pede o módulo da velocidade média, a resposta é $ 11 , m/s $.
Passo 5
Agora vamos encontrar a velocidade no instante de $ t = 5 $ s. Para isso, precisamos calcular a velocidade instantânea, que é a derivada da posição em relação ao tempo.
A função de velocidade $ v(t) $ é dada por:
Então, vamos derivar $ x(t) = -10 + 2t + 3t^2 $.
Passo 6
Calculando a derivada:
Portanto, a função da velocidade é $ v(t) = 2 + 6t $.
Passo 7
Agora, substituímos $ t = 5 $ s na função da velocidade:
Resposta
A velocidade média entre $ t = 1 $ s e $ t = 2 $ s é $ 11 , m/s $ e a velocidade no instante de $ 5 $ s é $ 32 , m/s $.