Uma partícula se move em uma órbita espiral logarítmica, cujo raio é dado por
com
e
constantes.
c) Obtenha a energia potencial
da partícula, supondo que
.
c) Obtenha a energia potencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física que fala sobre uma partícula movendo-se numa órbita em espiral logarítmica, onde o raio
. A pergunta é para encontrar a energia potencial
da partícula, sabendo que
. Vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especialmente sobre energia potencial e forças.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial
está relacionada à força que atua na partícula. A relação entre a força radial
e a energia potencial é dada por:
Então, para encontrar
, precisamos primeiro descobrir qual é a força
que está agindo na partícula.
Passo 3
Como a partícula está se movendo numa espiral logarítmica, a trajetória
nos dá uma relação entre o raio e o ângulo. Para encontrar a força, vamos derivar essa expressão para achar como o raio muda com o tempo, mas na verdade precisamos da força em função de
.
Vamos usar a propriedade das espirais logarítmicas: elas correspondem a movimentos sob uma força central que mantém a partícula numa trajetória que se expande ou contrai exponencialmente com o ângulo. A força que faz isso geralmente tem uma forma específica que depende de
.
Passo 4
Sabemos que para movimentos circulares ou com simetria central, a força pode ser relacionada à derivada do potencial. Como queremos
, vamos rearranjar a equação da força:
Para encontrar
, precisamos integrar a força em relação a
.
Passo 5
Mas antes, precisamos expressar a força
em termos de
. A partir da equação da trajetória
, podemos derivar para encontrar a velocidade e a aceleração radial, que nos ajudam a determinar a força. No entanto, para simplificar, vamos assumir que a força radial tem uma forma proporcional a
, ou seja:
onde
é uma constante que depende dos parâmetros
e
.
Passo 6
Agora, vamos integrar a expressão da força para encontrar
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 7
A gente sabe que
. Vamos usar isso para encontrar
. Quando
tende ao infinito:
Isso só é possível se
for negativo infinito, o que sugere que precisamos ajustar nossa hipótese inicial sobre a forma da força. Na verdade, para uma espiral logarítmica, a força deve ter uma dependência diferente de
.
Passo 8
Reavaliando, para uma espiral logarítmica, a força radial geralmente tem uma dependência inversa, como
, onde
é uma constante positiva. Vamos usar isso para integrar e encontrar
.
Passo 9
Integrando a nova expressão da força:
Integrando em relação a
:
Passo 10
Aplicando a condição
:
Como
tende ao infinito, para que
tenda a zero, precisamos que
seja negativo. Então, podemos escrever:
onde
é uma constante de referência.
Resposta
A energia potencial da partícula é
onde
e
são constantes relacionadas aos parâmetros da espiral logarítmica.