Uma partícula se move em uma órbita espiral logarítmica, cujo raio é dado por
r(theta)=k e^alpha theta
com k e alpha constantes.
c) Obtenha a energia potencial U(r) da partícula, supondo que U(infty)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física que fala sobre uma partícula movendo-se numa órbita em espiral logarítmica, onde o raio . A pergunta é para encontrar a energia potencial da partícula, sabendo que . Vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especialmente sobre energia potencial e forças.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial F(r) = -dUdr está relacionada à força que atua na partícula. A relação entre a força radial e a energia potencial é dada por:
Então, para encontrar , precisamos primeiro descobrir qual é a força que está agindo na partícula.

Passo 3

Como a partícula está se movendo numa espiral logarítmica, a trajetória nos dá uma relação entre o raio e o ângulo. Para encontrar a força, vamos derivar essa expressão para achar como o raio muda com o tempo, mas na verdade precisamos da força em função de .
Vamos usar a propriedade das espirais logarítmicas: elas correspondem a movimentos sob uma força central que mantém a partícula numa trajetória que se expande ou contrai exponencialmente com o ângulo. A força que faz isso geralmente tem uma forma específica que depende de .

Passo 4

Sabemos que para movimentos circulares ou com simetria central, a força pode ser relacionada à derivada do potencial. Como queremos dUdr = -F(r) , vamos rearranjar a equação da força:
Para encontrar , precisamos integrar a força em relação a .

Passo 5

Mas antes, precisamos expressar a força F(r) = -A r em termos de . A partir da equação da trajetória , podemos derivar para encontrar a velocidade e a aceleração radial, que nos ajudam a determinar a força. No entanto, para simplificar, vamos assumir que a força radial tem uma forma proporcional a , ou seja:
onde é uma constante que depende dos parâmetros e .

Passo 6

Agora, vamos integrar a expressão da força para encontrar dUdr = -F(r) = A r :
U(r) = integral A r , dr = A2 r^2 + C
Integrando ambos os lados em relação a :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 7

A gente sabe que U(infty) = A2 (infty)^2 + C = 0 . Vamos usar isso para encontrar . Quando tende ao infinito:
Isso só é possível se for negativo infinito, o que sugere que precisamos ajustar nossa hipótese inicial sobre a forma da força. Na verdade, para uma espiral logarítmica, a força deve ter uma dependência diferente de .

Passo 8

Reavaliando, para uma espiral logarítmica, a força radial geralmente tem uma dependência inversa, como , onde é uma constante positiva. Vamos usar isso para integrar e encontrar .

Passo 9

Integrando a nova expressão da força:
dUdr = -F(r) = Br
Integrando em relação a U(r) = B ln(r) + C :

Passo 10

Aplicando a condição limr to infty U(r) = B ln(infty) + C = 0 :
U(r) = -B ln(rr0)
Como tende ao infinito, para que tenda a zero, precisamos que seja negativo. Então, podemos escrever:
onde é uma constante de referência.

Resposta

A energia potencial da partícula é
U(r) = -B ln(rr0)
onde e são constantes relacionadas aos parâmetros da espiral logarítmica.

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