Uma partícula se move em uma órbita espiral logarítmica, cujo raio é dado por
com e constantes.
c) Obtenha a energia potencial da partícula, supondo que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física que fala sobre uma partícula movendo-se numa órbita em espiral logarítmica, onde o raio . A pergunta é para encontrar a energia potencial da partícula, sabendo que . Vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especialmente sobre energia potencial e forças.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial está relacionada à força que atua na partícula. A relação entre a força radial e a energia potencial é dada por:
Então, para encontrar , precisamos primeiro descobrir qual é a força que está agindo na partícula.

Passo 3

Como a partícula está se movendo numa espiral logarítmica, a trajetória nos dá uma relação entre o raio e o ângulo. Para encontrar a força, vamos derivar essa expressão para achar como o raio muda com o tempo, mas na verdade precisamos da força em função de .
Vamos usar a propriedade das espirais logarítmicas: elas correspondem a movimentos sob uma força central que mantém a partícula numa trajetória que se expande ou contrai exponencialmente com o ângulo. A força que faz isso geralmente tem uma forma específica que depende de .

Passo 4

Sabemos que para movimentos circulares ou com simetria central, a força pode ser relacionada à derivada do potencial. Como queremos , vamos rearranjar a equação da força:
Para encontrar , precisamos integrar a força em relação a .

Passo 5

Mas antes, precisamos expressar a força em termos de . A partir da equação da trajetória , podemos derivar para encontrar a velocidade e a aceleração radial, que nos ajudam a determinar a força. No entanto, para simplificar, vamos assumir que a força radial tem uma forma proporcional a , ou seja:
onde é uma constante que depende dos parâmetros e .

Passo 6

Agora, vamos integrar a expressão da força para encontrar :
Integrando ambos os lados em relação a :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 7

A gente sabe que . Vamos usar isso para encontrar . Quando tende ao infinito:
Isso só é possível se for negativo infinito, o que sugere que precisamos ajustar nossa hipótese inicial sobre a forma da força. Na verdade, para uma espiral logarítmica, a força deve ter uma dependência diferente de .

Passo 8

Reavaliando, para uma espiral logarítmica, a força radial geralmente tem uma dependência inversa, como , onde é uma constante positiva. Vamos usar isso para integrar e encontrar .

Passo 9

Integrando a nova expressão da força:
Integrando em relação a :

Passo 10

Aplicando a condição :
Como tende ao infinito, para que tenda a zero, precisamos que seja negativo. Então, podemos escrever:
onde é uma constante de referência.

Resposta

A energia potencial da partícula é
onde e são constantes relacionadas aos parâmetros da espiral logarítmica.

Exercícios relacionados

Uma partícula se move em uma órbita espiral logarítmica, cujo raio é dado por
com e constantes.
a) Encontre a força que possibilita esse movimento;
O satélite descrito no exercício anterior, no apogeu da sua órbita elíptica, recebe um impulso na direção radial, dado por , .
b) Calcule o ângulo entre o eixo principal da órbita após o impulso e o eixo principal da órbita antes do impulso.
(a) Obtenha um conjunto de grupos adimensionais, utilizando o Teorema de pi de Buckingham, que possam ser usados para correlacionar dados experimentais de um escoamento sobre um transdutor sonar liso de formato esférico, lembrando que esse escoamento gera uma força de arrasto sobre o transdutor sonar;
O que é cavitação?