O satélite descrito no exercício anterior, no apogeu da sua órbita elíptica, recebe um impulso na direção radial, dado por De, com p0=2 times 10^6 kg m / s.
b) Calcule o ângulo de entre o eixo principal da órbita após o impulso e o eixo principal da órbita antes do impulso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um satélite que está orbitando em uma trajetória elíptica. No ponto mais distante da órbita, chamado de ápice ou apogeu, o satélite recebe um impulso na direção radial. Esse impulso tem uma quantidade de movimento de De, onde p0 = 2 times 10^6 , kg cdot m/s. Nosso objetivo aqui é calcular o ângulo de entre o eixo principal da órbita antes e depois desse impulso. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre mecânica orbital e como impulsos afetam os elementos orbitais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a órbita elíptica de um satélite é descrita por dois pontos principais: o periélio (ponto mais próximo) e o apogeu (ponto mais distante). O eixo principal da elipse é a linha que conecta esses dois pontos. Quando um impulso é aplicado, ele pode mudar a direção e a magnitude da velocidade do satélite, alterando assim a forma e a orientação da órbita.

Passo 3

Como o impulso é dado na direção radial, isso significa que ele está na mesma direção que a linha que conecta o satélite ao centro da Terra no apogeu. Esse tipo de impulso vai afetar principalmente a energia e o momento angular da órbita. Para calcular o ângulo de, precisamos entender como esses parâmetros mudam com o impulso.

Passo 4

Vamos começar calculando a variação do momento angular devido ao impulso. O momento angular original do satélite na órbita elíptica é dado por:
L = m cdot v cdot r
onde:
  • m é a massa do satélite,
  • v é a velocidade tangencial no apogeu,
  • r é a distância do satélite ao centro da Terra no apogeu.
Quando há um impulso radial De, ele não altera diretamente a componente tangencial do momento angular, mas pode alterar a direção da velocidade, impactando o momento angular total.

Passo 5

Para encontrar o ângulo de, podemos usar a relação entre os vetores de momento angular antes e depois do impulso. Considerando que o impulso é radial, ele muda a direção da velocidade, criando um novo vetor de momento angular L'. A diferença entre L e L' nos dará o ângulo de entre os eixos principais das órbitas antes e depois do impulso.

Passo 6

A mudança no momento angular De pode ser calculada como:
De
Sabemos que De e queremos encontrar de. Rearranjando a equação:
sin(de

Passo 7

Agora, precisamos expressar De em termos dos parâmetros conhecidos. Como o impulso é radial, a mudança no momento angular está relacionada à componente perpendicular do impulso em relação ao momento angular original. Portanto:
De
Mas para pequenos ângulos, sin(de e cos(de, então podemos simplificar:
De
Substituindo na equação anterior:
de

Resposta

O ângulo de entre o eixo principal da órbita após o impulso e antes do impulso é aproximadamente 1 radiano.

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