O satélite descrito no exercício anterior, no apogeu da sua órbita elíptica, recebe um impulso na direção radial, dado por , .
b) Calcule o ângulo entre o eixo principal da órbita após o impulso e o eixo principal da órbita antes do impulso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um satélite que está orbitando em uma trajetória elíptica. No ponto mais distante da órbita, chamado de ápice ou apogeu, o satélite recebe um impulso na direção radial. Esse impulso tem uma quantidade de movimento de , onde . Nosso objetivo aqui é calcular o ângulo entre o eixo principal da órbita antes e depois desse impulso. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre mecânica orbital e como impulsos afetam os elementos orbitais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a órbita elíptica de um satélite é descrita por dois pontos principais: o periélio (ponto mais próximo) e o apogeu (ponto mais distante). O eixo principal da elipse é a linha que conecta esses dois pontos. Quando um impulso é aplicado, ele pode mudar a direção e a magnitude da velocidade do satélite, alterando assim a forma e a orientação da órbita.
Passo 3
Como o impulso é dado na direção radial, isso significa que ele está na mesma direção que a linha que conecta o satélite ao centro da Terra no apogeu. Esse tipo de impulso vai afetar principalmente a energia e o momento angular da órbita. Para calcular o ângulo , precisamos entender como esses parâmetros mudam com o impulso.
Passo 4
Vamos começar calculando a variação do momento angular devido ao impulso. O momento angular original do satélite na órbita elíptica é dado por:
onde:
é a massa do satélite,
é a velocidade tangencial no apogeu,
é a distância do satélite ao centro da Terra no apogeu.
Quando há um impulso radial , ele não altera diretamente a componente tangencial do momento angular, mas pode alterar a direção da velocidade, impactando o momento angular total.
Passo 5
Para encontrar o ângulo , podemos usar a relação entre os vetores de momento angular antes e depois do impulso. Considerando que o impulso é radial, ele muda a direção da velocidade, criando um novo vetor de momento angular . A diferença entre e nos dará o ângulo entre os eixos principais das órbitas antes e depois do impulso.
Passo 6
A mudança no momento angular pode ser calculada como:
Sabemos que e queremos encontrar . Rearranjando a equação:
Passo 7
Agora, precisamos expressar em termos dos parâmetros conhecidos. Como o impulso é radial, a mudança no momento angular está relacionada à componente perpendicular do impulso em relação ao momento angular original. Portanto:
Mas para pequenos ângulos, e , então podemos simplificar:
Substituindo na equação anterior:
Resposta
O ângulo entre o eixo principal da órbita após o impulso e antes do impulso é aproximadamente radiano.