Uma partícula se move em uma órbita espiral logarítmica, cujo raio é dado por
com
e
constantes.
a) Encontre a força
que possibilita esse movimento;
a) Encontre a força
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move em uma órbita chamada espiral logarítmica, onde o raio em função do ângulo é dado por
. Aqui,
e
são constantes. Nosso objetivo é encontrar a força
que faz essa partícula se mover dessa maneira. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento em coordenadas polares e a segunda lei de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a partícula está se movendo. Em coordenadas polares, a posição é definida por
. Para encontrar a força, precisamos calcular a aceleração da partícula. A aceleração em coordenadas polares tem duas componentes: radial e angular.
Passo 3
Vamos começar encontrando a velocidade radial
e a velocidade angular
. Mas como
é função de
, precisamos usar a regra da cadeia para derivar em relação ao tempo. No entanto, para simplificar, vamos assumir que
varia com o tempo de forma que possamos expressar tudo em termos de
.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Agora, usando as fórmulas da aceleração em coordenadas polares:
Como a órbita é estável, podemos considerar que a aceleração angular
, simplificando nossos cálculos.
Passo 5
Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial:
Substituindo
com as derivadas que calculamos:
Fatorando
, temos:
Mas como
está relacionado à velocidade angular, podemos expressar toda a força em termos de
e suas derivadas.
Resposta
A força que possibilita o movimento da partícula na órbita espiral logarítmica é dada por
ou seja,