Uma partícula se move em uma órbita espiral logarítmica, cujo raio é dado por
com e constantes.
a) Encontre a força que possibilita esse movimento;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move em uma órbita chamada espiral logarítmica, onde o raio em função do ângulo é dado por . Aqui, e são constantes. Nosso objetivo é encontrar a força que faz essa partícula se mover dessa maneira. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento em coordenadas polares e a segunda lei de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a partícula está se movendo. Em coordenadas polares, a posição é definida por . Para encontrar a força, precisamos calcular a aceleração da partícula. A aceleração em coordenadas polares tem duas componentes: radial e angular.

Passo 3

Vamos começar encontrando a velocidade radial e a velocidade angular . Mas como é função de , precisamos usar a regra da cadeia para derivar em relação ao tempo. No entanto, para simplificar, vamos assumir que varia com o tempo de forma que possamos expressar tudo em termos de .

Passo 4

Calculamos as derivadas de :
Agora, usando as fórmulas da aceleração em coordenadas polares:
Como a órbita é estável, podemos considerar que a aceleração angular , simplificando nossos cálculos.

Passo 5

Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial:
Substituindo com as derivadas que calculamos:
Fatorando , temos:
Mas como está relacionado à velocidade angular, podemos expressar toda a força em termos de e suas derivadas.

Resposta

A força que possibilita o movimento da partícula na órbita espiral logarítmica é dada por
ou seja,

Exercícios relacionados

O satélite descrito no exercício anterior, no apogeu da sua órbita elíptica, recebe um impulso na direção radial, dado por , .
b) Calcule o ângulo entre o eixo principal da órbita após o impulso e o eixo principal da órbita antes do impulso.
Um satélite de massa está em órbita em torno da Terra. O raio da Terra é e a massa da Terra é . Considere que . O satélite encontra-se em uma órbita elíptica. Ele passa a 200 km da superfície da Terra no seu ponto de maior aproximação e passa a 7200 km da superfície da Terra no seu ponto mais afastado. Com base nessas informações, responda as questões a seguir.
b) Calcule a excentricidade e o semi-eixo maior da órbita elíptica;
Uma partícula se move em uma órbita espiral logarítmica, cujo raio é dado por
com e constantes.
c) Obtenha a energia potencial da partícula, supondo que .
(a) Obtenha um conjunto de grupos adimensionais, utilizando o Teorema de pi de Buckingham, que possam ser usados para correlacionar dados experimentais de um escoamento sobre um transdutor sonar liso de formato esférico, lembrando que esse escoamento gera uma força de arrasto sobre o transdutor sonar;