Uma partícula se move em uma órbita espiral logarítmica, cujo raio é dado por
r(theta)=k e^alpha theta
com k e alpha constantes.
a) Encontre a força F(r) que possibilita esse movimento;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move em uma órbita chamada espiral logarítmica, onde o raio em função do ângulo é dado por . Aqui, e são constantes. Nosso objetivo é encontrar a força que faz essa partícula se mover dessa maneira. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento em coordenadas polares e a segunda lei de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a partícula está se movendo. Em coordenadas polares, a posição é definida por . Para encontrar a força, precisamos calcular a aceleração da partícula. A aceleração em coordenadas polares tem duas componentes: radial e angular.

Passo 3

Vamos começar encontrando a velocidade radial e a velocidade angular . Mas como é função de , precisamos usar a regra da cadeia para derivar em relação ao tempo. No entanto, para simplificar, vamos assumir que varia com o tempo de forma que possamos expressar tudo em termos de .

Passo 4

Calculamos as derivadas de drdtheta = k alpha e^alpha theta :
d^2rdtheta^2 = k alpha^2 e^alpha theta
ar = d^2rdt^2 - r (dthetadt)^2
Agora, usando as fórmulas da aceleração em coordenadas polares:
atheta = r d^2thetadt^2 + 2 drdt dthetadt
Como a órbita é estável, podemos considerar que a aceleração angular , simplificando nossos cálculos.

Passo 5

Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial:
F(r) = m ar
Substituindo F(r) = m ( d^2rdtheta^2 (dthetadt)^2 - r (dthetadt)^2 ) com as derivadas que calculamos:
F(r) = m ( d^2rdtheta^2 - r ) (dthetadt)^2
Fatorando , temos:
Mas como está relacionado à velocidade angular, podemos expressar toda a força em termos de e suas derivadas.

Resposta

A força que possibilita o movimento da partícula na órbita espiral logarítmica é dada por
F(r) = m alpha^2 k e^alpha theta = m alpha^2 r
ou seja,
F(r) = m alpha^2 r

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