Uma partícula se move segundo o vetor posição
r(t)=a(cos t)^3 i+a(sen t)^3 j
ande a é uma constante e t in[0,2 pi].
a) Determine a equação da trajetória.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor posição dado por
r(t) = a(cos t)^3 i + a(sin t)^3 j
onde é uma constante e varia de a . O objetivo é encontrar a equação da trajetória da partícula, ou seja, uma relação entre e que não dependa do parâmetro . Para isso, vamos usar as relações trigonométricas e eliminar o parâmetro .

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as componentes de x = a cos^3 t y = a sin^3 t e ( xa )^23 = cos^2 t ( ya )^23 = sin^2 t a partir do vetor posição:
( xa )^23 + ( ya )^23 = cos^2 t + sin^2 t = 1
Nosso objetivo é eliminar dessas equações. Sabemos que , uma identidade trigonométrica fundamental. Vamos manipular as equações para chegar a essa soma.
Dividindo ambas as equações por e elevando ao quadrado, temos:
Agora, somando as duas equações:

Passo 3

Chegamos a uma equação que relaciona e diretamente, eliminando o parâmetro . Essa equação descreve exatamente a trajetória da partícula.

Resposta

A equação da trajetória é:
( xa )^23 + ( ya )^23 = 1

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