Uma partícula se move sob a ação de uma força central do tipo
c) Mostre que a solução da equação da órbita é dada por
sendo
e
constantes;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está se movendo sob a ação de uma força central da forma
. Isso significa que a força depende inversamente do quadrado da distância
da partícula em relação ao centro. Nosso objetivo aqui é mostrar que a equação da órbita dessa partícula pode ser escrita como:
onde
e
são constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especialmente a segunda lei de Newton em coordenadas polares e a conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a segunda lei de Newton para uma força central pode ser escrita como:
Onde
é a componente radial da força. No nosso caso,
.
Passo 3
Para facilitar a resolução, fazemos uma mudança de variável usando
. Queremos expressar a equação em termos de
e
ao invés de
e
. Sabemos que:
E
Após algumas manipulações (que envolvem derivadas e a relação entre
e
), a equação se simplifica para:
Aqui,
é o momento angular da partícula, que é uma constante porque a força é central.
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:
A solução geral dessa equação é a soma da solução da equação homogênea
e uma solução particular. A solução da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes de integração.
A solução particular, já que o termo do lado direito é constante, é simplesmente:
Passo 5
Então, a solução geral da equação é:
Reorganizando os termos, temos:
Observa que o sinal de
depende da convenção de sinais usada para a força, mas aqui seguimos o enunciado original.
Resposta
A solução da equação da órbita é dada por:
onde
e
são constantes.