Mostre que a órbita de um corpo que se move sob a ação de uma força central, do tipo , tem a forma de uma seção cônica com
e com excentricidade
Além disso, mostre que
para órbitas elípticas ou hiperbólicas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra mostrar que a órbita de um corpo que está se movendo sob a influência de uma força central do tipo forma uma seção cônica. Isso envolve conceitos de mecânica clássica, especificamente leis de movimento planetário e equações de órbita. Vamos precisar das leis de conservação de energia e momento angular para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma força central como implica que a força depende apenas da distância do objeto ao centro. Isso significa que o momento angular é conservado. A conservação de nos ajuda a relacionar a velocidade radial e angular do corpo.
Passo 3
A energia total E = 12 m ( dotr^2 + r^2 dottheta^2 ) + V(r) do sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial. A energia cinética em coordenadas polares é dada por:
V(r) = -kr
Como a força é , a energia potencial para nossa força é:
Passo 4
Como o momento angular dottheta = Lm r^2 é constante, podemos resolver para E = 12 m dotr^2 + L^22 m r^2 - kr :
Substituindo isso na expressão da energia total, temos:
Passo 5
Agora, para encontrar a forma da órbita, usamos a relação drdtheta = -1u^2 dudtheta . Vamos aplicar a técnica de substituição d^2rdtheta^2 = 2u^3 ( dudtheta )^2 - 1u^2 d^2udtheta^2 , onde é uma função de . Assim, temos:
E a segunda derivada será:
Passo 6
Substituindo d^2udtheta^2 + u = m kL^2 na equação de energia e rearranjando, chegamos a uma equação diferencial que descreve uma seção cônica:
u(theta) = A cos(theta - theta0) + B
A solução dessa equação é a equação geral de uma cônica:
onde e são constantes que determinam a forma e a posição da órbita.
Passo 7
Comparando com a forma desejada no enunciado, identificamos que:
B = -m kL^2, A = raizB^2 + 2 m EL^2
Essas expressões relacionam as constantes da órbita com a energia total e o momento angular .
Passo 8
A excentricidade epsilon = raiz1 + 2 E L^2m k^2 da órbita mede o quão alongada ela é e é dada por:
Isso mostra que a excentricidade depende da energia e do momento angular do sistema.
Passo 9
Finalmente, para órbitas elípticas ou hiperbólicas, o parâmetro a = | k2 E | (semi-eixo maior ou distância focal) é:
Isso relaciona o parâmetro da órbita com a energia total do sistema.
Resposta
A órbita de um corpo sob a força B = -m kL^2, A = raizB^2 + 2 m EL^2 é uma seção cônica com
epsilon = raiz1 + 2 E L^2m k^2
e excentricidade
a = | k2 E |
Além disso, o parâmetro para órbitas elípticas ou hiperbólicas é