Mostre que a órbita de um corpo que se move sob a ação de uma força central, do tipo , tem a forma de uma seção cônica com
e com excentricidade
Além disso, mostre que
para órbitas elípticas ou hiperbólicas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra mostrar que a órbita de um corpo que está se movendo sob a influência de uma força central do tipo forma uma seção cônica. Isso envolve conceitos de mecânica clássica, especificamente leis de movimento planetário e equações de órbita. Vamos precisar das leis de conservação de energia e momento angular para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma força central como implica que a força depende apenas da distância do objeto ao centro. Isso significa que o momento angular é conservado. A conservação de nos ajuda a relacionar a velocidade radial e angular do corpo.

Passo 3

A energia total do sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial. A energia cinética em coordenadas polares é dada por:
Como a força é , a energia potencial para nossa força é:

Passo 4

Como o momento angular é constante, podemos resolver para :
Substituindo isso na expressão da energia total, temos:

Passo 5

Agora, para encontrar a forma da órbita, usamos a relação . Vamos aplicar a técnica de substituição , onde é uma função de . Assim, temos:
E a segunda derivada será:

Passo 6

Substituindo na equação de energia e rearranjando, chegamos a uma equação diferencial que descreve uma seção cônica:
A solução dessa equação é a equação geral de uma cônica:
onde e são constantes que determinam a forma e a posição da órbita.

Passo 7

Comparando com a forma desejada no enunciado, identificamos que:
Essas expressões relacionam as constantes da órbita com a energia total e o momento angular .

Passo 8

A excentricidade da órbita mede o quão alongada ela é e é dada por:
Isso mostra que a excentricidade depende da energia e do momento angular do sistema.

Passo 9

Finalmente, para órbitas elípticas ou hiperbólicas, o parâmetro (semi-eixo maior ou distância focal) é:
Isso relaciona o parâmetro da órbita com a energia total do sistema.

Resposta

A órbita de um corpo sob a força é uma seção cônica com
e excentricidade
Além disso, o parâmetro para órbitas elípticas ou hiperbólicas é

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