Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde
é dado em metros e
em segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados:
. Determine a velocidade no instante
e aceleração em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de movimento retilíneo! A gente tem a posição de uma partícula dada pela equação
, onde
está em metros e
em segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas: a velocidade da partícula no instante
segundo e a aceleração dela no instante
segundos. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar taxas de variação, ou seja, a velocidade e a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade
, precisamos derivar a função
.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora que temos a expressão para a velocidade
, podemos calcular a velocidade no instante
segundo substituindo
por 1 na equação:
Então, a velocidade da partícula em
segundo é de 7 metros por segundo.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Então, vamos derivar
para obter a aceleração
.
Derivando
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a aceleração no instante
segundos substituindo
por 2 na equação de aceleração:
Portanto, a aceleração da partícula em
segundos é de 14 metros por segundo ao quadrado.
Resposta
A velocidade da partícula em
segundo é de 7 m/s e a aceleração em
segundos é de 14 m/s².