Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado em metros e t em segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados: S(t) = t^3 + t^2 + 2t + 1. Determine a velocidade no instante t = 1 s e aceleração em t = 2 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de movimento retilíneo! A gente tem a posição de uma partícula dada pela equação , onde está em metros e em segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas: a velocidade da partícula no instante segundo e a aceleração dela no instante segundos. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar taxas de variação, ou seja, a velocidade e a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade , precisamos derivar a função .
A derivada de é:

Passo 3

Agora que temos a expressão para a velocidade , podemos calcular a velocidade no instante segundo substituindo por 1 na equação:
Então, a velocidade da partícula em segundo é de 7 metros por segundo.

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Então, vamos derivar para obter a aceleração .
Derivando :

Passo 5

Agora, vamos calcular a aceleração no instante segundos substituindo por 2 na equação de aceleração:
Portanto, a aceleração da partícula em segundos é de 14 metros por segundo ao quadrado.

Resposta

A velocidade da partícula em segundo é de 7 m/s e a aceleração em segundos é de 14 m/s².

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