Uma particula se move de tal forma que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por r=i+ -r^2 j+t k. Escreva expressôes para (a) sua velocidade e (b) sua àcleraçâo em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula cuja posição em função do tempo é dada pela expressão . Nosso objetivo é encontrar duas coisas:
(a) A velocidade da partícula em função do tempo.
(b) A aceleração da partícula em função do tempo.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas, para encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se v(t) = dr(t)dt é a posição, então a velocidade v(t) = 0,i - 2t,j + 1,k é dada por:
v(t) = -2t,j + k
Vamos derivar cada componente da posição:
  • A componente é constante, então sua derivada é 0.
  • A componente deriva para .
  • A componente deriva para .
Portanto, a velocidade é:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, se a(t) = dv(t)dt é a velocidade, então a aceleração a(t) = -2,j é dada por:
Vamos derivar cada componente da velocidade:
  • A componente deriva para .
  • A componente é constante, então sua derivada é 0.
Portanto, a aceleração é:

Resposta

(a) A velocidade da partícula em função do tempo é:
v(t) = -2t,j + k
(b) A aceleração da partícula em função do tempo é:
a(t) = -2,j

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