Uma particula se move de tal forma que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por
. Escreva expressôes para (a) sua velocidade e (b) sua àcleraçâo em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula cuja posição em função do tempo é dada pela expressão
. Nosso objetivo é encontrar duas coisas:
(a) A velocidade da partícula em função do tempo.
(b) A aceleração da partícula em função do tempo.
(a) A velocidade da partícula em função do tempo.
(b) A aceleração da partícula em função do tempo.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas, para encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se
é a posição, então a velocidade
é dada por:
Vamos derivar cada componente da posição:
- A componente
é constante, então sua derivada é 0. - A componente
deriva para . - A componente
deriva para .
Portanto, a velocidade é:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, se
é a velocidade, então a aceleração
é dada por:
Vamos derivar cada componente da velocidade:
- A componente
deriva para . - A componente
é constante, então sua derivada é 0.
Portanto, a aceleração é:
Resposta
(a) A velocidade da partícula em função do tempo é:
(b) A aceleração da partícula em função do tempo é: