A velocidade
de uma partícula que se move no plano ry é dada por
. com
em metros por segundo e
em segundos. (a) Qual é a aceleração no instante
? (b) Em que instante (se isso é possivel) a aceleraçāo ẻ nula? © Em que instante (sc isso é possivel) a velocidade é nula? (d) Em que instante (se isso é possivel) a velocidade escalar da particula é igual a
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! Temos uma partícula que se move no plano ry, e a velocidade dela é dada por:
Aqui,
está em metros por segundo (m/s) e
é o tempo em segundos (s), onde
. Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente derivadas para encontrar a aceleração, e entender o que significa velocidade e aceleração serem nulas ou terem valores específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): Qual é a aceleração no instante
?
A aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente da velocidade:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então, a aceleração fica:
Agora, substituímos
:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): Em que instante (se isso é possível) a aceleração é nula?
Queremos encontrar o tempo
quando a aceleração
.
Da expressão da aceleração:
Resolvendo para
:
Então, a aceleração é nula quando
.
Passo 4
Passando para a parte c): Em que instante (se isso é possível) a velocidade é nula?
A velocidade
será zero quando todas as componentes forem zero.
Temos:
A segunda equação,
, nunca é verdadeira. Isso significa que a componente
da velocidade nunca é zero. Portanto, a velocidade nunca será nula.
Passo 5
Finalmente, vamos resolver a parte d): Em que instante (se isso é possível) a velocidade escalar da partícula é igual a
?
A velocidade escalar (ou rapidez) é dada pela magnitude da velocidade:
Queremos encontrar
tal que:
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraímos 64 de ambos os lados:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Isso nos dá duas equações:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Primeira equação:
Calculamos o discriminante:
Como
, não há soluções reais.
Segunda equação:
Calculamos o discriminante:
Como
, há duas soluções reais:
Calculando:
Como
, descartamos
.
Resposta
A aceleração da partícula no instante
é de
. A aceleração é nula quando
. A velocidade nunca é nula, e a velocidade escalar da partícula é igual a
no instante aproximadamente
.