A velocidade de uma partícula que se move no plano ry é dada por . com em metros por segundo e em segundos. (a) Qual é a aceleração no instante ? (b) Em que instante (se isso é possivel) a aceleraçāo ẻ nula? © Em que instante (sc isso é possivel) a velocidade é nula? (d) Em que instante (se isso é possivel) a velocidade escalar da particula é igual a ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! Temos uma partícula que se move no plano ry, e a velocidade dela é dada por:
Aqui, está em metros por segundo (m/s) e é o tempo em segundos (s), onde . Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente derivadas para encontrar a aceleração, e entender o que significa velocidade e aceleração serem nulas ou terem valores específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): Qual é a aceleração no instante ?
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente da velocidade:
Para a componente :
Para a componente :
Então, a aceleração fica:
Agora, substituímos :

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): Em que instante (se isso é possível) a aceleração é nula?
Queremos encontrar o tempo quando a aceleração .
Da expressão da aceleração:
Resolvendo para :
Então, a aceleração é nula quando .

Passo 4

Passando para a parte c): Em que instante (se isso é possível) a velocidade é nula?
A velocidade será zero quando todas as componentes forem zero.
Temos:
A segunda equação, , nunca é verdadeira. Isso significa que a componente da velocidade nunca é zero. Portanto, a velocidade nunca será nula.

Passo 5

Finalmente, vamos resolver a parte d): Em que instante (se isso é possível) a velocidade escalar da partícula é igual a ?
A velocidade escalar (ou rapidez) é dada pela magnitude da velocidade:
Queremos encontrar tal que:
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraímos 64 de ambos os lados:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Isso nos dá duas equações:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Primeira equação:
Calculamos o discriminante:
Como , não há soluções reais.
Segunda equação:
Calculamos o discriminante:
Como , há duas soluções reais:
Calculando:
Como , descartamos .

Resposta

A aceleração da partícula no instante é de . A aceleração é nula quando . A velocidade nunca é nula, e a velocidade escalar da partícula é igual a no instante aproximadamente .

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