A velocidade v de uma partícula que se move no plano ry é dada por v=(6,0 t-4,(0 r^2) i-8,0 j. com v em metros por segundo e t(>0) em segundos. (a) Qual é a aceleração no instante t=3.0 s ? (b) Em que instante (se isso é possivel) a aceleraçāo ẻ nula? © Em que instante (sc isso é possivel) a velocidade é nula? (d) Em que instante (se isso é possivel) a velocidade escalar da particula é igual a 10 m / s ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! Temos uma partícula que se move no plano ry, e a velocidade dela é dada por:
v = (6.0, t - 4.0, t^2), i - 8.0, j
Aqui, v está em metros por segundo (m/s) e t é o tempo em segundos (s), onde t > 0. Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente derivadas para encontrar a aceleração, e entender o que significa velocidade e aceleração serem nulas ou terem valores específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): Qual é a aceleração no instante t = 3.0, s?
A aceleração a é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a = dvdt
Vamos derivar cada componente da velocidade:
Para a componente i:
ddt(6.0, t - 4.0, t^2) = 6.0 - 8.0, t
Para a componente j:
ddt(-8.0) = 0
Então, a aceleração fica:
a = (6.0 - 8.0, t), i + 0, j = (6.0 - 8.0, t), i
Agora, substituímos t = 3.0, s:
a = 6.0 - 8.0 times 3.0 = 6.0 - 24.0 = -18.0, i, m/s^2

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): Em que instante (se isso é possível) a aceleração é nula?
Queremos encontrar o tempo t quando a aceleração a = 0.
Da expressão da aceleração:
6.0 - 8.0, t = 0
Resolvendo para t:
-8.0, t = -6.0 t = 6.08.0 = 0.75, s
Então, a aceleração é nula quando t = 0.75, s.

Passo 4

Passando para a parte c): Em que instante (se isso é possível) a velocidade é nula?
A velocidade v será zero quando todas as componentes forem zero.
Temos:
6.0, t - 4.0, t^2 = 0 -8.0 = 0
A segunda equação, -8.0 = 0, nunca é verdadeira. Isso significa que a componente j da velocidade nunca é zero. Portanto, a velocidade nunca será nula.

Passo 5

Finalmente, vamos resolver a parte d): Em que instante (se isso é possível) a velocidade escalar da partícula é igual a 10, m/s?
A velocidade escalar (ou rapidez) é dada pela magnitude da velocidade:
|v| = raiz(6.0, t - 4.0, t^2)^2 + (-8.0)^2
Queremos encontrar t tal que:
raiz(6.0, t - 4.0, t^2)^2 + 64 = 10
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(6.0, t - 4.0, t^2)^2 + 64 = 100
Subtraímos 64 de ambos os lados:
(6.0, t - 4.0, t^2)^2 = 36
Agora, tiramos a raiz quadrada:
6.0, t - 4.0, t^2 = pm 6
Isso nos dá duas equações:
  1. -4.0, t^2 + 6.0, t - 6 = 0 4.0, t^2 - 6.0, t + 6 = 0
  2. De
Vamos resolver cada uma separadamente.
Primeira equação:
De
Calculamos o discriminante:
-4.0, t^2 + 6.0, t + 6 = 0 4.0, t^2 - 6.0, t - 6 = 0
Como De, não há soluções reais.
Segunda equação:
De 0
Calculamos o discriminante:
t = 6.0 pm raiz1328.0 approx 6.0 pm 11.48918.0
Como t1 = 6.0 + 11.48918.0 approx 2.0686, s t2 = 6.0 - 11.48918.0 approx -0.6861, s , há duas soluções reais:
t > 0
Calculando:
t2
Como , descartamos .

Resposta

A aceleração da partícula no instante t = 3.0, s é de -18.0, i, m/s^2. A aceleração é nula quando t = 0.75, s. A velocidade nunca é nula, e a velocidade escalar da partícula é igual a 10, m/s no instante aproximadamente t = 2.07, s.

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