Uma única força age sobre um objeto de 3,0 kg, que pode ser tratado como uma partícula de tal forma que a posição do objeto em função do tempo e dada por x(t)=3 t-4 t^2+t^3, com x em metros e t em segundos. Determine o trabalho realizado sobre o objeto pela força de t=0 até t=4,0 s. (Sugestão: Quais são as velocidades nesses tempos?)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular o trabalho realizado por uma força que atua sobre um objeto de 3,0 kg, cuja posição em função do tempo é dada por . O conteúdo aqui envolve cinemática e dinâmica, mais especificamente, conceitos de força, movimento e trabalho. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de velocidade, aceleração, força e trabalho.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade do objeto em função do tempo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = dx(t)dt = ddt(3t - 4t^2 + t^3) = 3 - 8t + 3t^2

Passo 3

Agora, vamos achar a aceleração do objeto, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt = ddt(3 - 8t + 3t^2) = -8 + 6t

Passo 4

Sabemos que a força é dada pela segunda lei de Newton: F(t) = 3,0 cdot (-8 + 6t) = -24 + 18t (N) . Com a massa e a aceleração que encontramos:

Passo 5

O trabalho realizado pela força ao longo do tempo é dado pela integral da força vezes a velocidade:
W = integralt0^t1 F(t) cdot v(t) , dt
Substituindo W = integral0^4 (-24 + 18t) cdot (3 - 8t + 3t^2) , dt e :

Passo 6

Vamos multiplicar as expressões dentro da integral:
(-24 + 18t)(3 - 8t + 3t^2) = -72 + 192t - 72t^2 + 54t - 144t^2 + 54t^3
Simplificando:
= -72 + 246t - 216t^2 + 54t^3

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
W = integral0^4 (-72 + 246t - 216t^2 + 54t^3) , dt = [-72t + 2462t^2 - 2163t^3 + 544t^4]0^4
Simplificando os coeficientes:
= [-72t + 123t^2 - 72t^3 + 13,5t^4]0^4

Passo 8

Avaliação nos limites de 0 a 4 segundos:
Para -72(4) + 123(4)^2 - 72(4)^3 + 13,5(4)^4 = -288 + 123 cdot 16 - 72 cdot 64 + 13,5 cdot 256 :
-288 + 1968 - 4608 + 3456 = (-288 + 1968) + (-4608 + 3456) = 1680 - 1152 = 528 , J
Calculando cada termo:
Para :
Todos os termos são zero.

Resposta

O trabalho realizado sobre o objeto pela força de até é 528 J.

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