Uma partícula movimenta-se de modo que sua posição em função do tempo é dada por r=i+2 t j-t k.
a) Escreva as expressões para a sua velocidade e aceleração em função do tempo;
b) Qual é a equação da trajetória da partícula?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. A gente tem uma partícula cuja posição em função do tempo está definida por . O conteúdo aqui envolve cinemática vetorial, onde vamos precisar usar derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, e depois relacionar as coordenadas para achar a trajetória da partícula.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): encontrar as expressões para a velocidade e a aceleração em função do tempo.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, v(t) = ddt(i) + ddt(2t,j) - ddt(t,k) = 0,i + 2,j - 1,k .
Então, derivando cada componente de :
Portanto, a velocidade é constante e igual a .

Passo 3

Agora, para encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo: a(t) = 0 .
Como a velocidade é constante (não depende do tempo), sua derivada é zero em todas as direções:
Isso significa que a partícula está se movendo com velocidade constante, sem aceleração.

Passo 4

Now, let’s move on to part b): encontrar a equação da trajetória da partícula.
A trajetória relaciona as coordenadas r = i + 2t,j - t,k , x = 1, y = 2t, z = -t e t = y2 e t = -z da posição da partícula. A expressão da posição dada é:
y2 = -z implies y = -2z
Isso significa que:
Queremos eliminar o parâmetro para achar uma relação entre , e .
Observando que é constante, e do e temos:
Igualando as duas expressões para :
Então, a equação da trajetória é , com .

Resposta

a) A velocidade é e a aceleração é .
b) A equação da trajetória da partícula é e .

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