Uma partícula movimenta-se de modo que sua posição em função do tempo é dada por
.
a) Escreva as expressões para a sua velocidade e aceleração em função do tempo;
b) Qual é a equação da trajetória da partícula?
a) Escreva as expressões para a sua velocidade e aceleração em função do tempo;
b) Qual é a equação da trajetória da partícula?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. A gente tem uma partícula cuja posição em função do tempo está definida por
. O conteúdo aqui envolve cinemática vetorial, onde vamos precisar usar derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, e depois relacionar as coordenadas para achar a trajetória da partícula.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): encontrar as expressões para a velocidade e a aceleração em função do tempo.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja,
.
Então, derivando cada componente de
:
Portanto, a velocidade é constante e igual a
.
Passo 3
Agora, para encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
.
Como a velocidade
é constante (não depende do tempo), sua derivada é zero em todas as direções:
Isso significa que a partícula está se movendo com velocidade constante, sem aceleração.
Passo 4
Now, let’s move on to part b): encontrar a equação da trajetória da partícula.
A trajetória relaciona as coordenadas
,
e
da posição da partícula. A expressão da posição dada é:
Isso significa que:
Queremos eliminar o parâmetro
para achar uma relação entre
,
e
.
Observando que
é constante, e do
e
temos:
Igualando as duas expressões para
:
Então, a equação da trajetória é
, com
.
Resposta
a) A velocidade é
e a aceleração é
.
b) A equação da trajetória da partícula é
e
.