Um projétil é lançado do solo com velocidade inicial igual a 40,0 m / s e um ângulo inicial theta= 53^circ. Desprezando a resistência do ar, determine:
(a) A posição depois de 2,0 s;
(b) A velocidade depois de 2,0 s;
© O tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima de sua trajetória;
(d) A altura máxima de sua trajetória;
(e) A distância entre o ponto inicial e o ponto onde o projétil atinge o solo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre projéteis! O enunciado fala que um projétil é lançado com uma velocidade inicial de formando um ângulo de com o solo. A gente vai usar conceitos de cinemática para descobrir várias informações sobre a trajetória desse projétil, como posição, velocidade, tempo para atingir a altura máxima, altura máxima e a distância total percorrida. Para isso, vamos precisar decompor a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical, e usar as fórmulas de movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

(a) A posição depois de 2,0 s
Primeiro, vamos achar as componentes da velocidade inicial:
v0x = v0 cdot cos(theta) = 40,0 cdot cos(53^circ)
v0y = v0 cdot sin(theta) = 40,0 cdot sin(53^circ)
Calculando:
v0x approx 40,0 cdot 0,6018 approx 24,07 , m/s
v0y approx 40,0 cdot 0,7986 approx 31,94 , m/s
Agora, a posição após 2 segundos:
Para o eixo horizontal (x):
x = v0x cdot t = 24,07 cdot 2,0 approx 48,14 , m
Para o eixo vertical (y):
y = v0y cdot t - 12 g t^2 = 31,94 cdot 2,0 - 12 cdot 9,81 cdot (2,0)^2
y approx 63,88 - 19,62 approx 44,26 , m

Passo 3

(b) A velocidade depois de 2,0 s
A velocidade após 2 segundos também tem componentes horizontal e vertical.
A componente horizontal vx = v0x = 24,07 , m/s permanece a mesma, já que não há aceleração nessa direção:
vy = v0y - g cdot t = 31,94 - 9,81 cdot 2,0 approx 31,94 - 19,62 approx 12,32 , m/s
A componente vertical v = raizvx^2 + vy^2 = raiz24,07^2 + 12,32^2 approx raiz578,96 + 151,65 approx raiz730,61 approx 27,04 , m/s muda devido à aceleração da gravidade:
A velocidade total pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:

Passo 4

© O tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima de sua trajetória
A altura máxima é atingida quando a componente vertical da velocidade é zero ( vy = v0y - g cdot t ).
Usando a equação:
0 = 31,94 - 9,81 cdot t
t = 31,949,81 approx 3,26 , s

Passo 5

(d) A altura máxima de sua trajetória
Usamos a equação da posição vertical:
y = v0y cdot t - 12 g t^2
y = 31,94 cdot 3,26 - 12 cdot 9,81 cdot (3,26)^2
y approx 104,12 - 51,77 approx 52,35 , m

Passo 6

(e) A distância entre o ponto inicial e o ponto onde o projétil atinge o solo
Para encontrar essa distância, precisamos achar o tempo total de voo até o projétil voltar ao solo ( 0 = v0y cdot t - 12 g t^2 ).
Usamos a equação da posição vertical:
12 g t^2 = v0y cdot t
t (12 g t - v0y) = 0
12 cdot 9,81 cdot t = 31,94
Desconsideramos t = 31,94 cdot 29,81 approx 6,52 , s (ponto de lançamento):
x = v0x cdot t = 24,07 cdot 6,52 approx 156,69 , m
Agora, a distância horizontal:

Resposta

(a) A posição depois de 2,0 s é aproximadamente .
(b) A velocidade depois de 2,0 s é aproximadamente .
© O tempo para atingir a altura máxima é aproximadamente .
(d) A altura máxima da trajetória é aproximadamente .
(e) A distância entre o ponto inicial e o ponto onde o projétil atinge o solo é aproximadamente .

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