Uma onda eletromagnética plana se propaga no vácuo e na direção x. A partir da lei de Faraday, obtemos a seguinte relação:
partial Epartial x=-partial Bpartial t
(a) Encontre a relação entre |E|,|B|, k e omega.
(b) Descreva brevemente o significado físico de k, omega.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma onda eletromagnética plana que se propaga no vácuo na direção x. A partir da lei de Faraday, foi dada a relação:
partial Epartial x = -partial Bpartial t
No item (a), precisamos encontrar a relação entre as magnitudes dos campos elétrico e magnético ( |E| e |B|), o número de onda ( k) e a frequência angular ( omega). No item (b), devemos descrever o significado físico de k e omega.

Passo 2

Vamos começar resolvendo o item (a). Para isso, assumimos que tanto o campo elétrico E quanto o campo magnético B variam de forma harmônica na direção x e no tempo t. Podemos expressar essas variações da seguinte maneira:
E(x,t) = E0 e^i(kx - omega t)
B(x,t) = B0 e^i(kx - omega t)
Onde:
  • E0 e B0 são as amplitudes dos campos elétrico e magnético, respectivamente.
  • k é o número de onda.
  • omega é a frequência angular.

Passo 3

Substituímos essas expressões na relação dada pela lei de Faraday:
partial Epartial x = -partial Bpartial t
Calculando as derivadas parciais:
partial Epartial x = ik E0 e^i(kx - omega t) = ik E
-partial Bpartial t = -(-iomega) B0 e^i(kx - omega t) = iomega B

Passo 4

Igualando as duas expressões resultantes:
ik E = iomega B
Podemos cancelar o fator i de ambos os lados:
k E = omega B
Agora, isolamos a relação entre as magnitudes dos campos elétrico e magnético:
|E| = omegak |B|

Passo 5

Agora, vamos para o item (b). O número de onda k e a frequência angular omega são parâmetros que descrevem as propriedades da onda.
  • Número de onda ( k): Representa quantas oscilações da onda ocorrem por unidade de comprimento. Está relacionado ao comprimento de onda lambda pela fórmula:
k = 2pilambda
  • Frequência angular ( omega): Representa quantas oscilações da onda ocorrem por unidade de tempo. Está relacionada à frequência f pela fórmula:
omega = 2pi f
Esses parâmetros são importantes porque determinam a velocidade de propagação da onda eletromagnética no vácuo, que é dada por:
c = omegak
Onde c é a velocidade da luz no vácuo.

Resposta

(a) A relação entre |E|, |B|, k e omega é:
|E| = omegak |B|
(b) O número de onda k indica quantas oscilações a onda possui por unidade de comprimento, estando relacionado ao comprimento de onda. A frequência angular omega indica quantas oscilações a onda realiza por unidade de tempo, estando relacionada à frequência da onda.

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