Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo F=r F(r).
b) Mostre que a energia potencial associada é uma função apenas de r, sendo dada por
V(r)=-integralrs^r F(r) d r
com rs sendo um ponto de referência;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma partícula que se move sob a ação de uma força central, ou seja, uma força que sempre aponta para ou para longe de um ponto fixo e depende apenas da distância da partícula a esse ponto. O conteúdo da matéria aqui envolve forças centrais e energia potencial. Para resolver, vamos precisar lembrar como relacionar a força com a energia potencial.

Passo 2

Sabemos que a energia potencial está relacionada ao trabalho que a força realiza ao mover a partícula de um ponto de referência até o ponto . O trabalho realizado pela força pode ser calculado pela integral da força ao longo do caminho.

Passo 3

Para uma força central da forma W = integralrs^r F cdot dr , o trabalho realizado ao mover de W = integralrs^r F(r) , dr para é dado por:
Como a força é radial, a integral simplifica para:

Passo 4

A energia potencial V(r) = -W é definida como o trabalho negativo realizado pela força conservativa para mover a partícula de V(r) = -integralrs^r F(r) , dr a . Portanto:
Substituindo o valor de que encontramos:

Resposta

A energia potencial associada é uma função apenas de V(r) = -integralrs^r F(r) , dr e é dada por

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