Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo
.
b) Mostre que a energia potencial associada é uma função apenas de
, sendo dada por
com
sendo um ponto de referência;
b) Mostre que a energia potencial associada é uma função apenas de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma partícula que se move sob a ação de uma força central, ou seja, uma força que sempre aponta para ou para longe de um ponto fixo e depende apenas da distância
da partícula a esse ponto. O conteúdo da matéria aqui envolve forças centrais e energia potencial. Para resolver, vamos precisar lembrar como relacionar a força com a energia potencial.
Passo 2
Sabemos que a energia potencial
está relacionada ao trabalho que a força realiza ao mover a partícula de um ponto de referência
até o ponto
. O trabalho realizado pela força pode ser calculado pela integral da força ao longo do caminho.
Passo 3
Para uma força central da forma
, o trabalho realizado ao mover de
para
é dado por:
Como a força é radial, a integral simplifica para:
Passo 4
A energia potencial
é definida como o trabalho negativo realizado pela força conservativa para mover a partícula de
a
. Portanto:
Substituindo o valor de
que encontramos:
Resposta
A energia potencial associada é uma função apenas de
e é dada por