Uma partícula em movimento retilíneo possui a seguinte função horária da aceleração: a(t)=2 t-5, em unidades do Sistema Internacional S.I. A função horária de sua velocidade pode ser descrita por: v(t)=A t^2+B t+C, onde A, B e C são constantes a determinar. Sabendo - se que em t=0 sua velocidade é 8,0 m / s e que a=d vd t, determine: (a) a velocidade e a aceleração em t=4,0 s. (b) Para que intervalos de tempo (t>0) o movimento é acelerado e retardado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move em linha reta, e a aceleração dela é dada por . A gente precisa achar a função da velocidade . Sabemos que quando , a velocidade é . Além disso, sabemos que . Vamos precisar usar cálculo básico para integrar a aceleração e encontrar as constantes , e .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função da aceleração para encontrar a função da velocidade. A aceleração é a derivada da velocidade, então para achar v(t) = integral a(t) , dt = integral (2t - 5) , dt = t^2 - 5t + C , a gente integra :
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial que nos foi dada.

Passo 3

Sabemos que quando v(0) = 0^2 - 5 cdot 0 + C = C = 8,0 , a velocidade . Vamos substituir esses valores na expressão que achamos para :
Então, .

Passo 4

Agora que sabemos que v(t) = t^2 - 5t + 8 , a função da velocidade fica:
Comparando com a forma dada , percebemos que:

Passo 5

Agora vamos para a parte (a) do exercício: encontrar a velocidade e a aceleração em v(4) = (4)^2 - 5 cdot 4 + 8 = 16 - 20 + 8 = 4 , m/s .
Primeiro, vamos calcular a(4) = 2 cdot 4 - 5 = 8 - 5 = 3 , m/s^2 :
Agora, a aceleração em :

Passo 6

Agora, para a parte (b), precisamos determinar em quais intervalos de tempo o movimento é acelerado ou retardado. Isso depende do sinal da aceleração.
A aceleração 2t - 5 > 0 implies t > 52 .
  • Quando , o movimento é acelerado.
  • Quando , o movimento é retardado.
Vamos resolver :
Então:
  • Acelerado para
  • Retardado para

Resposta

(a) Em , a velocidade é e a aceleração é .
(b) O movimento é acelerado para tempos maiores que e retardado para tempos menores que .

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