Uma partícula em movimento retilíneo possui a seguinte função horária da aceleração:
, em unidades do Sistema Internacional S.I. A função horária de sua velocidade pode ser descrita por:
, onde
e
são constantes a determinar. Sabendo - se que em
sua velocidade é
e que
, determine: (a) a velocidade e a aceleração em
. (b) Para que intervalos de tempo
o movimento é acelerado e retardado?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move em linha reta, e a aceleração dela é dada por
. A gente precisa achar a função da velocidade
. Sabemos que quando
, a velocidade é
. Além disso, sabemos que
. Vamos precisar usar cálculo básico para integrar a aceleração e encontrar as constantes
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função da aceleração para encontrar a função da velocidade. A aceleração é a derivada da velocidade, então para achar
, a gente integra
:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial que nos foi dada.
Passo 3
Sabemos que quando
, a velocidade
. Vamos substituir esses valores na expressão que achamos para
:
Então,
.
Passo 4
Agora que sabemos que
, a função da velocidade fica:
Comparando com a forma dada
, percebemos que:
Passo 5
Agora vamos para a parte (a) do exercício: encontrar a velocidade e a aceleração em
.
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, a aceleração em
:
Passo 6
Agora, para a parte (b), precisamos determinar em quais intervalos de tempo o movimento é acelerado ou retardado. Isso depende do sinal da aceleração.
A aceleração
.
- Quando
, o movimento é acelerado. - Quando
, o movimento é retardado.
Vamos resolver
:
Então:
- Acelerado para
- Retardado para
Resposta
(a) Em
, a velocidade é
e a aceleração é
.
(b) O movimento é acelerado para tempos maiores que
e retardado para tempos menores que
.