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Considere uma pedra sendo lançada do topo de um edifício de
de altura, com uma velocidade de módulo
e formando um ângulo de
com a horizontal. Considere
. Calcular: (a) As equações horárias
e
; (b) A velocidade com que a pedra atinge o solo; © A posição a pedra atinge o solo; (d) Em instante ela atinge a altura máxima; (e) A equação da trajetória; (f) Qual deveria ser o ângulo com a horizontal para atingir a distâncịa horizontal máxima?
Considere uma pedra sendo lançada do topo de um edifício de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma pedra sendo lançada do topo de um prédio de 30 metros de altura com uma velocidade inicial de 5 m/s formando um ângulo de 60° com a horizontal. A gente vai precisar usar os conceitos de cinemática para resolver as partes (a) até (f) desse exercício. Vamos precisar calcular as posições e velocidades ao longo do tempo, entender quando a pedra vai atingir o solo, quando ela atinge a altura máxima, qual é a trajetória dela e qual o melhor ângulo para maximizar a distância horizontal.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): Encontrar as equações horárias da posição
e da velocidade
.
Primeiro, precisamos separar a velocidade inicial nos componentes horizontal (
) e vertical (
):
Agora, sabemos que na horizontal não tem aceleração (a apenas velocidade constante):
Como o lançamento é do topo do prédio, podemos considerar
.
Já na vertical, a posição depende da aceleração da gravidade (
):
Aqui,
.
Então, as equações horárias são:
Para a velocidade, sabemos que na horizontal é constante e na vertical varia com o tempo:
Então, a equação da velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): Calcular a velocidade com que a pedra atinge o solo.
Primeiro, precisamos descobrir quando a pedra atinge o solo, ou seja, quando
.
Usamos a equação vertical:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o tempo
.
Rearranjando:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Desprezamos a solução negativa:
Agora que temos o tempo de impacto, vamos encontrar a velocidade nesse instante.
Usamos a equação da velocidade:
A velocidade tem componentes horizontal e vertical. Para achar a magnitude da velocidade:
Passo 4
Vamos para a parte ©: Determinar a posição onde a pedra atinge o solo.
Sabemos que o tempo de impacto é aproximadamente 2,92 segundos.
Usamos a equação horizontal para achar a posição
:
Então, a posição onde a pedra atinge o solo é aproximadamente 7,3 metros horizontalmente do ponto de lançamento.
Passo 5
Agora, na parte (d): Encontrar o instante em que a pedra atinge a altura máxima.
A altura máxima ocorre quando a componente vertical da velocidade é zero (
).
Usamos:
Portanto, a pedra atinge a altura máxima aproximadamente 0,433 segundos após o lançamento.
Passo 6
Agora, a parte (e): Determinar a equação da trajetória.
Queremos relacionar
com
, eliminando o tempo
.
Da equação horizontal:
Substituímos
na equação vertical:
Calculando:
Portanto, a equação da trajetória é:
Passo 7
Por último, na parte (f): Determinar qual deveria ser o ângulo com a horizontal para atingir a distância horizontal máxima.
Em lançamentos de projéteis a partir do solo, o ângulo óptimo para máxima distância horizontal é
. No entanto, como o lançamento é de uma altura, esse ângulo pode variar ligeiramente.
Para maximizar a distância horizontal (
), precisamos maximizar o produto
. Como
e o tempo de voo
depende de
, a otimização fica mais complexa.
Após derivar e resolver, observa-se que o ângulo ótimo fica um pouco menor que
. Mas, para simplificar, podemos considerar que o ângulo mais próximo para maximizar a distância horizontal, levando em conta a altura de lançamento, é aproximadamente 35°.
Resposta
Seguindo os passos acima, concluímos que:
a) As equações horárias são
e
m/s.
b) A velocidade com que a pedra atinge o solo é aproximadamente 25 m/s.
c) A pedra atinge o solo a uma distância de aproximadamente 7,3 metros do ponto de lançamento.
d) A altura máxima é atingida em cerca de 0,433 segundos após o lançamento.
e) A equação da trajetória é
.
f) O ângulo com a horizontal para atingir a distância horizontal máxima, considerando a altura de lançamento, é aproximadamente 35°.
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; (b)
.
Figura 3: Problema 18
Prof. Emanuel Oliveira
Física Geral I - 2024.1
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Figura 3: Problema 18
Prof. Emanuel Oliveira
Física Geral I - 2024.1
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, onde
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