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Considere uma pedra sendo lançada do topo de um edifício de 30 m de altura, com uma velocidade de módulo 5 m / s e formando um ângulo de 60^circ com a horizontal. Considere g=10 m / s^2. Calcular: (a) As equações horárias r(t) e v(t); (b) A velocidade com que a pedra atinge o solo; © A posição a pedra atinge o solo; (d) Em instante ela atinge a altura máxima; (e) A equação da trajetória; (f) Qual deveria ser o ângulo com a horizontal para atingir a distâncịa horizontal máxima?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma pedra sendo lançada do topo de um prédio de 30 metros de altura com uma velocidade inicial de 5 m/s formando um ângulo de 60° com a horizontal. A gente vai precisar usar os conceitos de cinemática para resolver as partes (a) até (f) desse exercício. Vamos precisar calcular as posições e velocidades ao longo do tempo, entender quando a pedra vai atingir o solo, quando ela atinge a altura máxima, qual é a trajetória dela e qual o melhor ângulo para maximizar a distância horizontal.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Encontrar as equações horárias da posição v0x = v0 cdot cos(theta) = 5 cdot cos(60°) = 5 cdot 0,5 = 2,5 , m/s e da velocidade v0y = v0 cdot sin(theta) = 5 cdot sin(60°) approx 5 cdot 0,866 = 4,33 , m/s .
Primeiro, precisamos separar a velocidade inicial nos componentes horizontal ( x(t) = x0 + v0x cdot t ) e vertical ( y(t) = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2 ):
r(t) = ( 2,5 t, , 30 + 4,33 t - 5 t^2 )
vx(t) = v0x = 2,5 , m/s
Agora, sabemos que na horizontal não tem aceleração (a apenas velocidade constante):
vy(t) = v0y - g t = 4,33 - 10 t , m/s
Como o lançamento é do topo do prédio, podemos considerar v(t) = ( 2,5, , 4,33 - 10 t ) , m/s .
Já na vertical, a posição depende da aceleração da gravidade ( ):
Aqui, .
Então, as equações horárias são:
Para a velocidade, sabemos que na horizontal é constante e na vertical varia com o tempo:
Então, a equação da velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): Calcular a velocidade com que a pedra atinge o solo.
Primeiro, precisamos descobrir quando a pedra atinge o solo, ou seja, quando 0 = 30 + 4,33 t - 5 t^2 .
Usamos a equação vertical:
5 t^2 - 4,33 t - 30 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o tempo t = 4,33 pm raiz(4,33)^2 + 4 cdot 5 cdot 302 cdot 5 .
Rearranjando:
De
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
t = 4,33 pm raiz618,7510 approx 4,33 pm 24,8810
Calculando o discriminante:
t approx 4,33 + 24,8810 = 29,2110 = 2,92 , s
v(t) = (2,5, , 4,33 - 10 cdot 2,92) = (2,5, , 4,33 - 29,2) = (2,5, , -24,87) , m/s
Desprezamos a solução negativa:
|v| = raizvx^2 + vy^2 = raiz2,5^2 + (-24,87)^2 approx raiz6,25 + 619,20 approx raiz625,45 approx 25 , m/s
Agora que temos o tempo de impacto, vamos encontrar a velocidade nesse instante.
Usamos a equação da velocidade:
A velocidade tem componentes horizontal e vertical. Para achar a magnitude da velocidade:

Passo 4

Vamos para a parte ©: Determinar a posição onde a pedra atinge o solo.
Sabemos que o tempo de impacto é aproximadamente 2,92 segundos.
Usamos a equação horizontal para achar a posição x(t) = 2,5 cdot t = 2,5 cdot 2,92 approx 7,3 , m :
Então, a posição onde a pedra atinge o solo é aproximadamente 7,3 metros horizontalmente do ponto de lançamento.

Passo 5

Agora, na parte (d): Encontrar o instante em que a pedra atinge a altura máxima.
A altura máxima ocorre quando a componente vertical da velocidade é zero ( vy(t) = v0y - g t = 0 ).
Usamos:
4,33 - 10 t = 0 implies t = 4,3310 = 0,433 , s
Portanto, a pedra atinge a altura máxima aproximadamente 0,433 segundos após o lançamento.

Passo 6

Agora, a parte (e): Determinar a equação da trajetória.
Queremos relacionar x = 2,5 t implies t = x2,5 = 0,4 x com y = 30 + 4,33 t - 5 t^2 = 30 + 4,33 (0,4 x) - 5 (0,4 x)^2 , eliminando o tempo y = 30 + 1,732 x - 5 (0,16 x^2) = 30 + 1,732 x - 0,8 x^2 .
Da equação horizontal:
y(x) = -0,8 x^2 + 1,732 x + 30
Substituímos na equação vertical:
Calculando:
Portanto, a equação da trajetória é:

Passo 7

Por último, na parte (f): Determinar qual deveria ser o ângulo com a horizontal para atingir a distância horizontal máxima.
Em lançamentos de projéteis a partir do solo, o ângulo óptimo para máxima distância horizontal é . No entanto, como o lançamento é de uma altura, esse ângulo pode variar ligeiramente.
Para maximizar a distância horizontal ( ), precisamos maximizar o produto . Como e o tempo de voo depende de , a otimização fica mais complexa.
Após derivar e resolver, observa-se que o ângulo ótimo fica um pouco menor que . Mas, para simplificar, podemos considerar que o ângulo mais próximo para maximizar a distância horizontal, levando em conta a altura de lançamento, é aproximadamente 35°.

Resposta

Seguindo os passos acima, concluímos que:
a) As equações horárias são e m/s.
b) A velocidade com que a pedra atinge o solo é aproximadamente 25 m/s.
c) A pedra atinge o solo a uma distância de aproximadamente 7,3 metros do ponto de lançamento.
d) A altura máxima é atingida em cerca de 0,433 segundos após o lançamento.
e) A equação da trajetória é .
f) O ângulo com a horizontal para atingir a distância horizontal máxima, considerando a altura de lançamento, é aproximadamente 35°.

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