Uma pequena bola é lançada a partir do solo com velocidade inicial V0=(21,0 i+28,0 j) m / s. No instante t=5,0 s, determine: (a) o vetor posição e o vetor velocidade (b) a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta. Despreze efeitos de resistência do ar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o lançamento de uma bola com uma velocidade inicial dada pelo vetor V0 = (21,0,i + 28,0,j),m/s. A gente precisa descobrir, no instante t=5,0 segundos:
(a) O vetor posição e o vetor velocidade da bola.
(b) A aceleração tangencial e a aceleração centrípeta.
Vamos usar conceitos de cinemática vetorial, que envolvem movimentos com velocidade e aceleração nas direções horizontal e vertical. Precisamos lembrar das fórmulas para posição e velocidade em função do tempo, e entender como calcular as componentes das acelerações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição no tempo t=5,0 s. A posição S(t) pode ser calculada usando a fórmula:
S(t) = V0 cdot t + 12 a cdot t^2
Aqui, a é a aceleração da gravidade, que só atua na direção vertical (componente j). Como estamos desprezando a resistência do ar, a componente horizontal da aceleração é zero.
Sabendo que a = (0,i -9,8,j),m/s^2, substituímos na fórmula:
S(5) = (21,0,i + 28,0,j) cdot 5 + 12 (0,i -9,8,j) cdot (5)^2
Calculando cada parte:
(21,0 times 5) = 105,0,i
(28,0 times 5) = 140,0,j
12 times -9,8 times 25 = -122,5,j
Somando tudo:
S(5) = 105,0,i + (140,0 - 122,5),j = 105,0,i + 17,5,j,m

Passo 3

Agora, vamos achar o vetor velocidade no tempo t=5,0 s. A velocidade V(t) é dada por:
V(t) = V0 + a cdot t
Substituindo os valores:
V(5) = (21,0,i + 28,0,j) + (0,i -9,8,j) cdot 5
Calculando:
0 times 5 = 0,i
-9,8 times 5 = -49,0,j
Somando:
V(5) = 21,0,i + (28,0 - 49,0),j = 21,0,i -21,0,j,m/s

Passo 4

Vamos agora calcular as acelerações tangencial e centrípeta no instante t=5,0 s.
A aceleração tangencial ( at) está relacionada à variação da velocidade ao longo do trajeto. No nosso caso, considerando que a aceleração horizontal é zero e a vertical é constante ( -9,8,m/s^2), a aceleração tangencial é igual à componente da aceleração na direção do movimento. Como a velocidade tem componentes em i e j, precisamos calcular a derivada da velocidade em relação ao tempo para achar at.
Entretanto, neste caso específico, a aceleração tangencial é a projeção da aceleração total na direção da velocidade. Mas como a velocidade em i é constante, a única mudança é na direção j.
A aceleração centrípeta ( ac) está relacionada à mudança na direção da velocidade, mantendo o módulo constante. É calculada por:
ac = V^2r
onde V é a velocidade e r é o raio da trajetória. Porém, como o movimento não é circular, a aceleração centrípeta neste contexto pode ser considerada zero.
Mas para ser mais preciso, vamos calcular as acelerações:
A aceleração total a é:
a = (0,i -9,8,j),m/s^2
A aceleração tangencial at é a componente alinhada com a velocidade. A velocidade em t=5 s é V(5) = 21,0,i -21,0,j,m/s. A direção da aceleração tangencial é:
at = a cdot V|V|
Calculando o produto escalar:
a cdot V = 0 times 21,0 + (-9,8) times (-21,0) = 205,8
Magnitude da velocidade:
|V| = raiz21,0^2 + (-21,0)^2 = raiz441 + 441 = raiz882 approx 29,7,m/s
Então:
at = 205,829,7 approx 6,93,m/s^2
A aceleração centrípeta ac é dada por:
ac = raiz|a|^2 - at^2 = raiz9,8^2 - 6,93^2 approx raiz96,04 - 48,04 approx raiz48 approx 6,93,m/s^2

Resposta

(a) No instante t=5,0 s, o vetor posição é S(5) = 105,0,i + 17,5,j,m e o vetor velocidade é V(5) = 21,0,i -21,0,j,m/s.
(b) A aceleração tangencial é aproximadamente 6,93,m/s^2 e a aceleração centrípeta também é aproximadamente 6,93,m/s^2.

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