Uma pequena bola é lançada a partir do solo com velocidade inicial . No instante s, determine: (a) o vetor posição e o vetor velocidade (b) a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta. Despreze efeitos de resistência do ar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o lançamento de uma bola com uma velocidade inicial dada pelo vetor . A gente precisa descobrir, no instante segundos:
(a) O vetor posição e o vetor velocidade da bola.
(b) A aceleração tangencial e a aceleração centrípeta.
Vamos usar conceitos de cinemática vetorial, que envolvem movimentos com velocidade e aceleração nas direções horizontal e vertical. Precisamos lembrar das fórmulas para posição e velocidade em função do tempo, e entender como calcular as componentes das acelerações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição no tempo s. A posição pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui, é a aceleração da gravidade, que só atua na direção vertical (componente ). Como estamos desprezando a resistência do ar, a componente horizontal da aceleração é zero.
Sabendo que , substituímos na fórmula:
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos achar o vetor velocidade no tempo s. A velocidade é dada por:
Substituindo os valores:
Calculando:
Somando:

Passo 4

Vamos agora calcular as acelerações tangencial e centrípeta no instante s.
A aceleração tangencial ( ) está relacionada à variação da velocidade ao longo do trajeto. No nosso caso, considerando que a aceleração horizontal é zero e a vertical é constante ( ), a aceleração tangencial é igual à componente da aceleração na direção do movimento. Como a velocidade tem componentes em e , precisamos calcular a derivada da velocidade em relação ao tempo para achar .
Entretanto, neste caso específico, a aceleração tangencial é a projeção da aceleração total na direção da velocidade. Mas como a velocidade em é constante, a única mudança é na direção .
A aceleração centrípeta ( ) está relacionada à mudança na direção da velocidade, mantendo o módulo constante. É calculada por:
onde é a velocidade e é o raio da trajetória. Porém, como o movimento não é circular, a aceleração centrípeta neste contexto pode ser considerada zero.
Mas para ser mais preciso, vamos calcular as acelerações:
A aceleração total é:
A aceleração tangencial é a componente alinhada com a velocidade. A velocidade em s é . A direção da aceleração tangencial é:
Calculando o produto escalar:
Magnitude da velocidade:
Então:
A aceleração centrípeta é dada por:

Resposta

(a) No instante s, o vetor posição é e o vetor velocidade é .
(b) A aceleração tangencial é aproximadamente e a aceleração centrípeta também é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Um turista deixa cair uma maçã durante um voo de balão. No momento em que isso acontece, o balão está com uma aceleração, para cima, de e uma velocidade, para cima, de . (a) Qual é o módulo e (b) qual é o sentido da aceleração da maçã nesse instante? © Nesse instante, a maçã está se movendo para cima, está se movendo para baixo, ou está parada? (d) Qual é o módulo da velocidade da maçã nesse instante? (e) A velocidade da maçã aumenta, diminui ou permanece constante nos instantes seguintes?
Uma partícula em movimento retilíneo possui a seguinte função horária da aceleração: , em unidades do Sistema Internacional S.I. A função horária de sua velocidade pode ser descrita por: , onde e são constantes a determinar. Sabendo - se que em sua velocidade é e que , determine: (a) a velocidade e a aceleração em . (b) Para que intervalos de tempo o movimento é acelerado e retardado?
Para empurrar um engradado de 30 Kg para cima em um plano inclinado, sem atrito, de em relação à horizontal, um operário exerce uma força de 219 N paralela ao plano inclinado. Quando o engradado percorre , qual é o trabalho realizado sobre ele:
(a) pela força aplicada pelo trabalhador,
A figura mostra uma composição contendo cinco carrinhos de massa 200 Kg , cada um. Os carrinhos começam a descer sobre um plano inclinado de inclinação . Desprezando possíveis atritos entre o trilho e a composição, determine (a) a aceleração do sistema quando 4 carrinhos já estiverem sobre o plano inclinado e (b) a tração no primeiro e último carrinho da composição. Despreze a curvatura do cabo no último carrinho.