Uma pequena bola é lançada a partir do solo com velocidade inicial
. No instante
s, determine: (a) o vetor posição e o vetor velocidade (b) a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta. Despreze efeitos de resistência do ar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o lançamento de uma bola com uma velocidade inicial dada pelo vetor
. A gente precisa descobrir, no instante
segundos:
(a) O vetor posição e o vetor velocidade da bola.
(b) A aceleração tangencial e a aceleração centrípeta.
Vamos usar conceitos de cinemática vetorial, que envolvem movimentos com velocidade e aceleração nas direções horizontal e vertical. Precisamos lembrar das fórmulas para posição e velocidade em função do tempo, e entender como calcular as componentes das acelerações.
(a) O vetor posição e o vetor velocidade da bola.
(b) A aceleração tangencial e a aceleração centrípeta.
Vamos usar conceitos de cinemática vetorial, que envolvem movimentos com velocidade e aceleração nas direções horizontal e vertical. Precisamos lembrar das fórmulas para posição e velocidade em função do tempo, e entender como calcular as componentes das acelerações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor posição no tempo
s. A posição
pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui,
é a aceleração da gravidade, que só atua na direção vertical (componente
). Como estamos desprezando a resistência do ar, a componente horizontal da aceleração é zero.
Sabendo que
, substituímos na fórmula:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos achar o vetor velocidade no tempo
s. A velocidade
é dada por:
Substituindo os valores:
Calculando:
Somando:
Passo 4
Vamos agora calcular as acelerações tangencial e centrípeta no instante
s.
A aceleração tangencial (
) está relacionada à variação da velocidade ao longo do trajeto. No nosso caso, considerando que a aceleração horizontal é zero e a vertical é constante (
), a aceleração tangencial é igual à componente da aceleração na direção do movimento. Como a velocidade tem componentes em
e
, precisamos calcular a derivada da velocidade em relação ao tempo para achar
.
Entretanto, neste caso específico, a aceleração tangencial é a projeção da aceleração total na direção da velocidade. Mas como a velocidade em
é constante, a única mudança é na direção
.
A aceleração centrípeta (
) está relacionada à mudança na direção da velocidade, mantendo o módulo constante. É calculada por:
onde
é a velocidade e
é o raio da trajetória. Porém, como o movimento não é circular, a aceleração centrípeta neste contexto pode ser considerada zero.
Mas para ser mais preciso, vamos calcular as acelerações:
A aceleração total
é:
A aceleração tangencial
é a componente alinhada com a velocidade. A velocidade em
s é
. A direção da aceleração tangencial é:
Calculando o produto escalar:
Magnitude da velocidade:
Então:
A aceleração centrípeta
é dada por:
Resposta
(a) No instante
s, o vetor posição é
e o vetor velocidade é
.
(b) A aceleração tangencial é aproximadamente e a aceleração centrípeta também é aproximadamente
.
(b) A aceleração tangencial é aproximadamente