Uma partícula penetra com velocidade v em uma região de campos elétrico E e magnético B uniformes. Mostre que, para a partícula se deslocar em movimento retilíneo uniforme nesta região, os campos E e B e a velocidade v devem satisfazer a relação E=-v times B, o que generaliza o resultado visto em aula para o seletor de velocidades. A velocidade precisa ser necessariamente perpendicular ao campo magnético para que essa relação seja satisfeita?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que entra numa região onde tem campos elétrico (E) e magnético (B) uniformes, com uma velocidade inicial (v). O objetivo é mostrar que, para a partícula se mover em linha reta e com velocidade constante, os campos e a velocidade devem satisfazer a relação E = -v × B. Além disso, vamos verificar se a velocidade precisa ser necessariamente perpendicular ao campo magnético para que isso aconteça. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as forças elétricas e magnéticas que atuam sobre a partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das forças que atuam numa partícula carregada. Quando uma partícula com carga entra em um campo elétrico, ela sente uma força elétrica dada por:
FE = q,E
E quando ela está em um campo magnético e se move com velocidade v, ela sente uma força magnética dada por:
FB = q,v times B
Aqui, q é a carga da partícula, e o símbolo “×” representa o produto vetorial.

Passo 3

Para a partícula se mover em movimento retilíneo uniforme, a força resultante sobre ela precisa ser zero. Isso significa que a soma das forças elétrica e magnética deve cancelar uma a outra:
FE + FB = 0
Substituindo as expressões das forças:
q,E + q,v times B = 0

Passo 4

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por q (considerando que q ≠ 0):
E + v times B = 0
Rearranjando os termos, temos:
E = -v times B
Essa é a relação que queríamos demonstrar!

Passo 5

Agora, sobre a segunda parte da questão: será que a velocidade v precisa ser necessariamente perpendicular ao campo magnético B para que essa relação seja válida?
A resposta é não. A relação E = -v × B é válida independentemente do ângulo entre v e B. O produto vetorial v × B sempre resulta em um vetor perpendicular tanto a v quanto a B, mas v pode ter componentes paralelas e perpendiculares a B. A condição para movimento retilíneo uniforme é que a componente perpendicular da força magnética seja exatamente contrabalançada pela força elétrica, o que não exige que v seja perpendicular a B.

Resposta

Para que a partícula se mova em linha reta com velocidade constante na região com campos elétrico e magnético uniformes, os campos e a velocidade devem satisfazer a relação E = -v × B. Além disso, a velocidade não precisa ser necessariamente perpendicular ao campo magnético para que essa relação seja válida.

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