Uma partícula percorre a cúbica retorcida , onde . Ache o trabalho total realizado, se o movimento foi causado pelo campo de forças . O trabalho é dado em Joules.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que se move ao longo de uma trajetória definida por , onde varia de 0 a 1. A força que está agindo nessa partícula é dada por . Nosso objetivo é calcular o trabalho total realizado por essa força durante o movimento da partícula. Para isso, vamos usar o conceito de **integração de linha**, que envolve calcular o produto escalar entre a força e o deslocamento da partícula ao longo da trajetória.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da posição em relação ao tempo , que é a velocidade da partícula. Vamos calcular :
Passo 3
Agora, substituímos a trajetória na força para obter :
Passo 4
Em seguida, calculamos o produto escalar entre a força e a velocidade :
Simplificando:
Passo 5
Agora, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho total :
Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
1. **Integral de :**
2. **Integral de :**
Fazemos a substituição , então ou .
3. **Integral de :**
Fazemos a substituição , então ou .
Passo 6
Agora, somamos todas as partes integradas para encontrar o trabalho total :
Simplificando:
Calculando os valores numéricos:
Somando tudo:
Resposta
O trabalho total realizado é aproximadamente **3,34 Joules**.