Uma partícula percorre a cúbica retorcida , onde . Ache o trabalho total realizado, se o movimento foi causado pelo campo de forças . O trabalho é dado em Joules.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que se move ao longo de uma trajetória definida por , onde varia de 0 a 1. A força que está agindo nessa partícula é dada por . Nosso objetivo é calcular o trabalho total realizado por essa força durante o movimento da partícula. Para isso, vamos usar o conceito de **integração de linha**, que envolve calcular o produto escalar entre a força e o deslocamento da partícula ao longo da trajetória.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da posição em relação ao tempo , que é a velocidade da partícula. Vamos calcular :

Passo 3

Agora, substituímos a trajetória na força para obter :

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar entre a força e a velocidade : Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho total : Vamos resolver cada parte da integral separadamente. 1. **Integral de :** 2. **Integral de :** Fazemos a substituição , então ou . 3. **Integral de :** Fazemos a substituição , então ou .

Passo 6

Agora, somamos todas as partes integradas para encontrar o trabalho total : Simplificando: Calculando os valores numéricos: Somando tudo:

Resposta

O trabalho total realizado é aproximadamente **3,34 Joules**.

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Suponha que o campo de forças mova uma partícula da origem ao ponto . Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos: ii - do segmento da parábola da origem ao ponto .