Determine as curvas integrais das equações diferenciais: d/y = sinh(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as curvas integrais da equação diferencial . Isso significa que a matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente aquelas que podemos resolver por integração direta. Para resolver, vamos precisar saber como integrar a função hiperbólica .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva integral. Básicamente, é uma função y(x) que satisfaz a equação diferencial dada. Ou seja, quando derivamos y(x) em relação a x, devemos obter . Nossa tarefa é encontrar essa função y(x).

Passo 3

Para encontrar y(x), precisamos integrar a equação diferencial. Isso porque a derivada de y em relação a x é igual a , então para voltar de para y, fazemos a operação inversa, que é a integração.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, precisamos lembrar como integrar a função hiperbólica . A integral de é , já que a derivada de é . Portanto:
Aqui, C é a constante de integração, que representa todas as possíveis curvas integrais que diferem apenas em um deslocamento vertical.

Resposta

A curva integral da equação diferencial é , onde C é uma constante real.

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