Determine as curvas integrais das equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as curvas integrais da equação diferencial
. Isso significa que a matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente aquelas que podemos resolver por integração direta. Para resolver, vamos precisar saber como integrar a função hiperbólica
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva integral. Básicamente, é uma função
que satisfaz a equação diferencial dada. Ou seja, quando derivamos
em relação a
, devemos obter
. Nossa tarefa é encontrar essa função
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos integrar a equação diferencial. Isso porque a derivada de
em relação a
é igual a
, então para voltar de
para
, fazemos a operação inversa, que é a integração.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, precisamos lembrar como integrar a função hiperbólica
. A integral de
é
, já que a derivada de
é
. Portanto:
Aqui,
é a constante de integração, que representa todas as possíveis curvas integrais que diferem apenas em um deslocamento vertical.
Resposta
A curva integral da equação diferencial é
, onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Uma partícula percorre a cúbica retorcida
, onde
. Ache o trabalho total realizado, se o movimento foi causado pelo campo de forças
. O trabalho é dado em Joules.
Suponha que o campo de forças
mova uma partícula da origem ao ponto
.
Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos:
ii - do segmento da parábola da origem ao ponto
.
Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos:
ii - do segmento da parábola
Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
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