Determine as curvas integrais das equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as curvas integrais da equação diferencial . Isso significa que a matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente aquelas que podemos resolver por integração direta. Para resolver, vamos precisar saber como integrar a função hiperbólica .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva integral. Básicamente, é uma função que satisfaz a equação diferencial dada. Ou seja, quando derivamos em relação a , devemos obter . Nossa tarefa é encontrar essa função .

Passo 3

Para encontrar , precisamos integrar a equação diferencial. Isso porque a derivada de em relação a é igual a , então para voltar de para , fazemos a operação inversa, que é a integração.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, precisamos lembrar como integrar a função hiperbólica . A integral de é , já que a derivada de é . Portanto:
Aqui, é a constante de integração, que representa todas as possíveis curvas integrais que diferem apenas em um deslocamento vertical.

Resposta

A curva integral da equação diferencial é , onde é uma constante real.

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Uma partícula percorre a cúbica retorcida , onde . Ache o trabalho total realizado, se o movimento foi causado pelo campo de forças . O trabalho é dado em Joules.
Suponha que o campo de forças mova uma partícula da origem ao ponto .
Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos:
ii - do segmento da parábola da origem ao ponto .
Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação. ;