Suponha que o campo de forças
mova uma partícula da origem ao ponto
.
Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos:
ii - do segmento da parábola
da origem ao ponto
.
Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos:
ii - do segmento da parábola
Passo 1
Resumo do Enunciado: Temos um campo de forças dado por
que move uma partícula da origem
ao ponto
. Precisamos calcular o trabalho realizado ao longo do caminho definido pela parábola
.
Conteúdo da Matéria: Este exercício aborda o cálculo de trabalho em um campo de forças utilizando integrais de linha. Vamos aplicar conceitos de cálculo vetorial para determinar o trabalho realizado ao mover uma partícula ao longo de um caminho específico.
O que Vamos Precisar para Resolver:
- Parametrização do Caminho: Expressar as coordenadas
e em termos de uma variável parâmetro, geralmente . - Expressão do Diferencial de Posição (
): Determinar e em termos de . - Substituição no Campo de Forças: Avaliar
ao longo do caminho parametrizado. - Cálculo da Integral de Linha: Integrar o produto escalar
sobre o intervalo de correspondente ao caminho.
Passo 2
Parametrização do Caminho:
Como o caminho é definido pela parábola , podemos usar
como parâmetro. Vamos parametrizar o caminho com
variando de 0 a 1:
Como o caminho é definido pela parábola
onde
varia de 0 a 1, pois queremos ir da origem
ao ponto
.
Passo 3
Cálculo dos Diferenciais
e
:
Diferenciando e
em relação a
:
Diferenciando
Passo 4
Expressão do Campo de Forças ao Longo do Caminho:
Substituindo e
na função
:
Substituindo
Passo 5
Cálculo do Produto Escalar
:
Substituindo
e
:
Simplificando os termos:
Passo 6
Cálculo da Integral de Linha (Trabalho):
Calculando a integral:
Substituindo os limites:
Resposta
O trabalho realizado ao longo do caminho da parábola
da origem ao ponto
é 3 unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Determine as curvas integrais das equações diferenciais:
Uma partícula percorre a cúbica retorcida
, onde
. Ache o trabalho total realizado, se o movimento foi causado pelo campo de forças
. O trabalho é dado em Joules.
Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
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Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
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