Suponha que o campo de forças F(x, y) = (y^2 + 2x + 4) * i + (2xy + 4y - 5) * j mova uma partícula da origem ao ponto 1,1.
Calcule o trabalho ao longo dos seguintes caminhos:
ii - do segmento da parábola y = x^2 da origem ao ponto 1,1.

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos um campo de forças dado por que move uma partícula da origem ao ponto . Precisamos calcular o trabalho realizado ao longo do caminho definido pela parábola .
Conteúdo da Matéria: Este exercício aborda o cálculo de trabalho em um campo de forças utilizando integrais de linha. Vamos aplicar conceitos de cálculo vetorial para determinar o trabalho realizado ao mover uma partícula ao longo de um caminho específico.
O que Vamos Precisar para Resolver:
  1. Parametrização do Caminho: Expressar as coordenadas e em termos de uma variável parâmetro, geralmente .
  2. Expressão do Diferencial de Posição ( ): Determinar e em termos de .
  3. Substituição no Campo de Forças: Avaliar ao longo do caminho parametrizado.
  4. Cálculo da Integral de Linha: Integrar o produto escalar sobre o intervalo de correspondente ao caminho.

Passo 2

Parametrização do Caminho:
Como o caminho é definido pela parábola , podemos usar como parâmetro. Vamos parametrizar o caminho com variando de 0 a 1:
onde varia de 0 a 1, pois queremos ir da origem ao ponto .

Passo 3

Cálculo dos Diferenciais e :
Diferenciando e em relação a :

Passo 4

Expressão do Campo de Forças ao Longo do Caminho:
Substituindo e na função :

Passo 5

Cálculo do Produto Escalar :
Substituindo e :
Simplificando os termos:

Passo 6

Cálculo da Integral de Linha (Trabalho):
Calculando a integral:
Substituindo os limites:

Resposta

O trabalho realizado ao longo do caminho da parábola da origem ao ponto é 3 unidades de trabalho.

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