Uma partícula em um poço quadrado infinito de dimensões está em um estado descrito por
a) A função é normalizada?
b) Quais valores podem ser medidos para a energia e com quais probabilidades?
c) Encontre e para esse estado. Essas quantidades dependem do tempo? Se sim, é verdade que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula confinada em um poço quadrado infinito, ou seja, ela está restrita no intervalo de . A função de onda que descreve o estado dessa partícula é dada por:
Vamos precisar entender conceitos de normalização de funções de onda, probabilidades associadas a valores de energia e cálculos de valores esperados como e . Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.
Passo 2
Parte a: A função é normalizada?
Normalização significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matemáticamente, isso é representado por:
Vamos calcular essa integral.
Passo 3
Primeiro, calculamos :
Note que o termo cruzado também contribui, mas como as funções seno são ortogonais com diferentes números quânticos, esses termos se cancelam.
Passo 4
Simplificando os módulos:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos de a :
Sabemos que:
para qualquer inteiro .
Passo 6
Aplicando essa propriedade:
Passo 7
Como a integral resultou em , que não é igual a 1, concluímos que a função não está normalizada.
Passo 8
Parte b: Quais valores podem ser medidos para a energia e com quais probabilidades?
A função de onda está expressa como uma combinação linear dos estados próprios de energia do poço quadrado. Cada termo corresponde a um estado próprio com energia específica.
Passo 9
Os estados próprios são:
com energia
com energia
Portanto, os valores de energia que podem ser medidos são e .
Passo 10
As probabilidades de medir cada energia são os quadrados dos coeficientes das respectivas funções seno na expansão:
Para :
Para :
Passo 11
Precisamos normalizar essas probabilidades. Já vimos que a integral de é . Então, as probabilidades normalizadas são:
Para :
Para :
Passo 12
Parte c: Encontre e para esse estado. Essas quantidades dependem do tempo? Se sim, é verdade que ?
Para encontrar os valores esperados, usamos:
Passo 13
Observando que a função é uma combinação de estados estacionários com diferentes energias, os termos cruzados irão oscilar com frequência relacionada à diferença de energias , tornando e dependentes do tempo.
Passo 14
Calculando :
Devido à simetria do poço e às funções seno, os termos constantes ( e ) contribuem com fixa no centro do poço, mas os termos cruzados fazem oscilar. Portanto, depende do tempo.
Calculando :
Semelhantemente, devido aos termos cruzados, também oscila no tempo.
Passo 15
Para verificar se :
De fato, essa relação é válida na mecânica quântica para operadores que não dependem explicitamente do tempo. No entanto, devido à dependência temporal de e , a equação é mantida.
Resposta
a) Não, a função não está normalizada.
b) Os valores de energia que podem ser medidos são e , com probabilidades proporcionais a e , respectivamente, após normalização.
c) Os valores esperados e dependem do tempo devido aos termos cruzados na função de onda. Além disso, é verdade que .