Uma partícula em um poço quadrado infinito de dimensões 0 <= x <= a está em um estado descrito por
Psi(x, t)=i raiz32 raiz2a sin (pi xa) e^-i E1 t / hbar+1raiz2 a sin (3 pi xa) e^-i E3 t / hbar
a) A função Psi(x, t) é normalizada?
b) Quais valores podem ser medidos para a energia e com quais probabilidades?
c) Encontre lang<= xrang<= e lang<= prang<= para esse estado. Essas quantidades dependem do tempo? Se sim, é verdade que
m dd tlang<= xrang<==lang<= prang<=

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula confinada em um poço quadrado infinito, ou seja, ela está restrita no intervalo de Psi(x, t) = i raiz32 raiz2a sin (pi xa) e^-i E1 t / hbar + 1raiz2 a sin (3 pi xa) e^-i E3 t / hbar . A função de onda que descreve o estado dessa partícula é dada por:
Vamos precisar entender conceitos de normalização de funções de onda, probabilidades associadas a valores de energia e cálculos de valores esperados como e . Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte a: A função integral0^a |Psi(x, t)|^2 dx = 1 é normalizada?
Normalização significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matemáticamente, isso é representado por:
Vamos calcular essa integral.

Passo 3

Primeiro, calculamos |Psi(x, t)|^2 = |i raiz32 raiz2a sin (pi xa) e^-i E1 t / hbar|^2 + |1raiz2 a sin (3 pi xa) e^-i E3 t / hbar|^2 :
Note que o termo cruzado também contribui, mas como as funções seno são ortogonais com diferentes números quânticos, esses termos se cancelam.

Passo 4

Simplificando os módulos:
|Psi(x, t)|^2 = (32 cdot 2a) sin^2(pi xa) + (12 a) sin^2(3 pi xa)
Isso simplifica para:
|Psi(x, t)|^2 = 3a sin^2(pi xa) + 12 a sin^2(3 pi xa)

Passo 5

Agora, integramos de integral0^a |Psi(x, t)|^2 dx = 3a integral0^a sin^2(pi xa) dx + 12 a integral0^a sin^2(3 pi xa) dx a integral0^a sin^2(n pi xa) dx = a2 :
Sabemos que:
para qualquer inteiro .

Passo 6

Aplicando essa propriedade:
integral0^a |Psi(x, t)|^2 dx = 3a cdot a2 + 12 a cdot a2 = 32 + 14 = 74

Passo 7

Como a integral resultou em , que não é igual a 1, concluímos que a função não está normalizada.

Passo 8

Parte b: Quais valores podem ser medidos para a energia e com quais probabilidades?
A função de onda está expressa como uma combinação linear dos estados próprios de energia do poço quadrado. Cada termo corresponde a um estado próprio com energia específica.

Passo 9

Os estados próprios são:
  • com energia
  • com energia
Portanto, os valores de energia que podem ser medidos são e .

Passo 10

As probabilidades de medir cada energia são os quadrados dos coeficientes das respectivas funções seno na expansão:
  • Para P(E1) = |i raiz32 raiz2a |^2 = 32 cdot 2a = 3a :
P(E3) = |1raiz2 a|^2 = 12 a
  • Para :

Passo 11

Precisamos normalizar essas probabilidades. Já vimos que a integral de P(E1) = 3a74 = 127 a é P(E3) = 12 a74 = 27 a . Então, as probabilidades normalizadas são:
  • Para :
  • Para :

Passo 12

Parte c: Encontre lang<= x rang<= = integral0^a Psi^*(x, t) , x , Psi(x, t) , dx e lang<= p rang<= = integral0^a Psi^*(x, t) , (-i hbar ddx) Psi(x, t) , dx para esse estado. Essas quantidades dependem do tempo? Se sim, é verdade que ?
Para encontrar os valores esperados, usamos:

Passo 13

Observando que a função é uma combinação de estados estacionários com diferentes energias, os termos cruzados irão oscilar com frequência relacionada à diferença de energias , tornando e dependentes do tempo.

Passo 14

Calculando :
Devido à simetria do poço e às funções seno, os termos constantes ( e ) contribuem com fixa no centro do poço, mas os termos cruzados fazem oscilar. Portanto, depende do tempo.
Calculando :
Semelhantemente, devido aos termos cruzados, também oscila no tempo.

Passo 15

Para verificar se :
De fato, essa relação é válida na mecânica quântica para operadores que não dependem explicitamente do tempo. No entanto, devido à dependência temporal de e , a equação é mantida.

Resposta

a) Não, a função não está normalizada.
b) Os valores de energia que podem ser medidos são e , com probabilidades proporcionais a e , respectivamente, após normalização.
c) Os valores esperados e dependem do tempo devido aos termos cruzados na função de onda. Além disso, é verdade que .

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