Seja definida em .
a) Mostre que .
b) Normalize e mostre que .
c) Mostre que a probabilidade de que a partícula seja encontrada no intervalo é 0,52.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você tem aí. A gente tem uma função de onda definida para todo no intervalo de a . O exercício tem três partes:
a) Mostrar que .
b) Normalizar e encontrar o valor de .
c) Calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo .
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender como calcular o módulo ao quadrado de uma função complexa, normalizar uma função de onda (ou seja, ajustar o valor de para que a probabilidade total seja 1) e calcular integrais para encontrar probabilidades em intervalos específicos.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): Mostrar que .
Primeiro, precisamos entender o que é o módulo ao quadrado de uma função de onda complexa. Se é uma função complexa, então , onde é o conjugado complexo de .
Então, temos:
O conjugado complexo de será:
Agora, multiplicamos por :
Vamos simplificar essa expressão. Multiplicando os numeradores e os denominadores:
Agora, aplicamos a identidade :

Passo 3

Agora vamos para a parte b): Normalizar e encontrar o valor de .
Normalizar a função de onda significa ajustar de tal forma que a integral de sobre todo o espaço seja igual a 1, ou seja:
Substituindo a expressão que encontramos na parte a):
Para resolver a integral , podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que essa integral é conhecida e seu valor é .
Portanto:
Resolvendo para :

Passo 4

Finalmente, vamos para a parte c): Calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo .
A probabilidade de encontrar a partícula nesse intervalo é dada por:
Já que normalizamos , sabemos que:
Substituindo :
A integral pode ser resolvida usando substituições apropriadas ou métodos numéricos, e seu valor é aproximadamente .
Portanto:

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo é aproximadamente 0,52.

Exercícios relacionados

Suponha que
para . Encontre a função de onda no espaço dos momentos.
Seja a função de onda
encontre o valor esperado de .
Uma partícula em um poço quadrado infinito de dimensões está em um estado descrito por
a) A função é normalizada?
b) Quais valores podem ser medidos para a energia e com quais probabilidades?
c) Encontre e para esse estado. Essas quantidades dependem do tempo? Se sim, é verdade que
Se , como você pode encontrar os componentes da função de onda?