Seja
definida em
.
a) Mostre que
.
b) Normalize
e mostre que
.
c) Mostre que a probabilidade de que a partícula seja encontrada no intervalo
é 0,52.
a) Mostre que
b) Normalize
c) Mostre que a probabilidade de que a partícula seja encontrada no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você tem aí. A gente tem uma função de onda
definida para todo
no intervalo de
a
. O exercício tem três partes:
a) Mostrar que
.
b) Normalizar
e encontrar o valor de
.
c) Calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
.
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender como calcular o módulo ao quadrado de uma função complexa, normalizar uma função de onda (ou seja, ajustar o valor de
para que a probabilidade total seja 1) e calcular integrais para encontrar probabilidades em intervalos específicos.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Mostrar que
.
Primeiro, precisamos entender o que é o módulo ao quadrado de uma função de onda complexa. Se
é uma função complexa, então
, onde
é o conjugado complexo de
.
Então, temos:
O conjugado complexo de
será:
Agora, multiplicamos
por
:
Vamos simplificar essa expressão. Multiplicando os numeradores e os denominadores:
Agora, aplicamos a identidade
:
Passo 3
Agora vamos para a parte b): Normalizar
e encontrar o valor de
.
Normalizar a função de onda significa ajustar
de tal forma que a integral de
sobre todo o espaço seja igual a 1, ou seja:
Substituindo a expressão que encontramos na parte a):
Para resolver a integral
, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que essa integral é conhecida e seu valor é
.
Portanto:
Resolvendo para
:
Passo 4
Finalmente, vamos para a parte c): Calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
.
A probabilidade
de encontrar a partícula nesse intervalo é dada por:
Já que normalizamos
, sabemos que:
Substituindo
:
A integral
pode ser resolvida usando substituições apropriadas ou métodos numéricos, e seu valor é aproximadamente
.
Portanto:
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
é aproximadamente 0,52.
Exercícios relacionados
Suponha que
para
. Encontre a função de onda
no espaço dos momentos.
Seja a função de onda
encontre o valor esperado de
.
Uma partícula em um poço quadrado infinito de dimensões
está em um estado descrito por
a) A função
é normalizada?
b) Quais valores podem ser medidos para a energia e com quais probabilidades?
c) Encontre e
para esse estado. Essas quantidades dependem do tempo? Se sim, é verdade que
b) Quais valores podem ser medidos para a energia e com quais probabilidades?
c) Encontre
Se
, como você pode encontrar os componentes da função de onda?