Suponha que
para
. Encontre a função de onda
no espaço dos momentos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda no espaço das posições, que é dada por:
para
. O objetivo aqui é encontrar a função de onda no espaço dos momentos, ou seja,
. Para isso, vamos usar a transformação de Fourier, que é uma ferramenta essencial na mecânica quântica para passar do espaço das posições para o espaço dos momentos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar
. A função de onda no espaço dos momentos é dada pela transformada de Fourier da função de onda no espaço das posições:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a unidade imaginária, e
representa o momento.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função
na integral. Sabemos que
no intervalo
e é zero fora desse intervalo. Então, a integral fica limitada a esse intervalo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Podemos tirar
para fora da integral:
Agora, precisamos resolver a integral de
em relação a
de
a
.
Passo 5
A integral de
é uma função exponencial complexa que pode ser integrada facilmente:
Simplificando usando a identidade
, temos:
Resposta
Finalmente, substituindo de volta na expressão de
, obtemos:
Então, a função de onda no espaço dos momentos é: