Suponha que
Psi(x)=1raiza
para -a <= x <= a. Encontre a função de onda Phi(p) no espaço dos momentos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda no espaço das posições, que é dada por:
Psi(x) = 1raiza
para . O objetivo aqui é encontrar a função de onda no espaço dos momentos, ou seja, . Para isso, vamos usar a transformação de Fourier, que é uma ferramenta essencial na mecânica quântica para passar do espaço das posições para o espaço dos momentos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar Phi(p) = 1raiz2pi hbar integral-infty^infty Psi(x) e^-i p x / hbar , dx . A função de onda no espaço dos momentos é dada pela transformada de Fourier da função de onda no espaço das posições:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a unidade imaginária, e representa o momento.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função Phi(p) = 1raiz2pi hbar integral-a^a 1raiza e^-i p x / hbar , dx na integral. Sabemos que no intervalo e é zero fora desse intervalo. Então, a integral fica limitada a esse intervalo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão. Podemos tirar Phi(p) = 1raiz2pi hbar a integral-a^a e^-i p x / hbar , dx para fora da integral:
Agora, precisamos resolver a integral de em relação a de a .

Passo 5

A integral de integral-a^a e^-i p x / hbar , dx = [ -i hbarp e^-i p x / hbar ]-a^a = -i hbarp ( e^-i p a / hbar - e^i p a / hbar ) é uma função exponencial complexa que pode ser integrada facilmente:
-i hbarp ( e^-i p a / hbar - e^i p a / hbar ) = 2 hbarp sin( p ahbar )
Simplificando usando a identidade , temos:

Resposta

Finalmente, substituindo de volta na expressão de Phi(p) = 2 hbarraiz2pi hbar a , p sin( p ahbar ) = raiz2 hbarpi a sin( p ahbar )p , obtemos:
Phi(p) = raiz2 hbarpi a sin( p ahbar )p
Então, a função de onda no espaço dos momentos é:

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