alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda
Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos: alpha e beta
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois planos, o plano α dado por 2x - y + z = 1 e o plano β dado por -y + 3z = 4. A gente vai analisar a posição relativa entre esses planos, ou seja, se eles são paralelos, coincidentes ou se se cruzam. Além disso, vamos descobrir o ângulo que eles formam entre si e a distância entre eles. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores normais e como calcular ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é um vetor perpendicular a ele e é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano.
Para o plano α: 2x - y + z = 1
Vetor normal, nα = (2, -1, 1)
Para o plano β: -y + 3z = 4
Aqui, não tem o termo x, então o coeficiente de x é 0.
Vetor normal, nβ = (0, -1, 3)
Passo 3
Agora, vamos ver como esses vetores normais se relacionam para entender a posição relativa dos planos.
Se os vetores normais forem paralelos, ou seja, se um for múltiplo do outro, os planos são paralelos.
Se não forem múltiplos, os planos se cruzam.
Vamos verificar se existe um número k tal que nα = k nβ.
Comparamos as componentes:
2 = 0 cdot k ⟶ Não tem valor de k que satisfaça isso.
Já deu pra ver que não são múltiplos, então os planos não são paralelos. Portanto, eles se cruzam.
Passo 4
Agora, vamos calcular o ângulo entre os planos. O ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre seus vetores normais.
A fórmula para o ângulo theta entre dois vetores a e b é: