Uma partícula em repouso é atraída em direção ao centro de força
. Mostre que o tempo necessário para a partícula atingir o centro de força a partir de uma distância
é dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula parada que está sendo atraída por uma força em direção ao centro. A força dada é
. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo essa partícula leva para chegar ao centro a partir de uma distância
. Vamos usar conceitos de Dinâmica e Cinemática para resolver isso, especificamente a segunda lei de Newton e integração de equações de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre uma partícula é igual à massa dela vezes a aceleração:
Aqui,
é a aceleração da partícula.
Passo 3
Sabemos que a força que está agindo na partícula é:
Substituindo na segunda lei de Newton:
A massa
aparece nos dois lados da equação, então podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
A aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, e a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, podemos escrever:
Substituindo na equação anterior:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial que relaciona a posição
com o tempo
. Para resolver, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Isso permite integrar ambos os lados em relação ao tempo.
Passo 6
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Então, temos:
Como a partícula parte do repouso, a velocidade inicial é zero quando
. Então, substituindo:
Substituindo de volta na equação:
Multiplicando tudo por 2:
Passo 7
Agora, separamos as variáveis para integrar:
Vamos integrar de
até
para encontrar o tempo total
:
Fazendo a substituição
,
:
Resposta
O tempo necessário para a partícula atingir o centro de força a partir de uma distância
é: