Uma partícula em repouso é atraída em direção ao centro de força . Mostre que o tempo necessário para a partícula atingir o centro de força a partir de uma distância é dado por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula parada que está sendo atraída por uma força em direção ao centro. A força dada é . Nosso objetivo é descobrir quanto tempo essa partícula leva para chegar ao centro a partir de uma distância . Vamos usar conceitos de Dinâmica e Cinemática para resolver isso, especificamente a segunda lei de Newton e integração de equações de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre uma partícula é igual à massa dela vezes a aceleração:
Aqui, é a aceleração da partícula.

Passo 3

Sabemos que a força que está agindo na partícula é:
Substituindo na segunda lei de Newton:
A massa aparece nos dois lados da equação, então podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 4

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, e a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, podemos escrever:
Substituindo na equação anterior:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial que relaciona a posição com o tempo . Para resolver, vamos multiplicar ambos os lados por :
Isso permite integrar ambos os lados em relação ao tempo.

Passo 6

Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Então, temos:
Como a partícula parte do repouso, a velocidade inicial é zero quando . Então, substituindo:
Substituindo de volta na equação:
Multiplicando tudo por 2:

Passo 7

Agora, separamos as variáveis para integrar:
Vamos integrar de até para encontrar o tempo total :
Fazendo a substituição , :

Resposta

O tempo necessário para a partícula atingir o centro de força a partir de uma distância é:

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