Uma partícula em repouso é atraída em direção ao centro de força F=-m k^2 / x^3. Mostre que o tempo necessário para a partícula atingir o centro de força a partir de uma distância d é dado por t=d^2 / k^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula parada que está sendo atraída por uma força em direção ao centro. A força dada é . Nosso objetivo é descobrir quanto tempo essa partícula leva para chegar ao centro a partir de uma distância . Vamos usar conceitos de Dinâmica e Cinemática para resolver isso, especificamente a segunda lei de Newton e integração de equações de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre uma partícula é igual à massa dela vezes a aceleração:
F = m a
Aqui, é a aceleração da partícula.

Passo 3

Sabemos que a força que está agindo na partícula é:
F = -m k^2x^3
Substituindo na segunda lei de Newton:
-m k^2x^3 = m a
A massa -k^2x^3 = a aparece nos dois lados da equação, então podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 4

A aceleração a = d^2xdt^2 é a derivada da velocidade em relação ao tempo, e a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, podemos escrever:
d^2xdt^2 = -k^2x^3
Substituindo na equação anterior:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial que relaciona a posição d^2xdt^2 cdot dxdt = -k^2x^3 cdot dxdt com o tempo . Para resolver, vamos multiplicar ambos os lados por :
Isso permite integrar ambos os lados em relação ao tempo.

Passo 6

Integrando o lado esquerdo:
integral d^2xdt^2 cdot dxdt , dt = 12 ( dxdt )^2
E integrando o lado direito:
integral -k^2x^3 cdot dxdt , dt = integral -k^2x^3 , dx = k^22 x^2
Então, temos:
12 ( dxdt )^2 = k^22 x^2 + C
Como a partícula parte do repouso, a velocidade inicial é zero quando 0 = k^22 d^2 + C . Então, substituindo:
C = -k^22 d^2
12 ( dxdt )^2 = k^22 x^2 - k^22 d^2
Substituindo de volta na equação:
( dxdt )^2 = k^2x^2 - k^2d^2
Multiplicando tudo por 2:
dxdt = raizk^2x^2 - k^2d^2 = kx raiz1 - ( xd )^2

Passo 7

Agora, separamos as variáveis para integrar:
dt = dxkx raiz1 - ( xd )^2 = x , dxk raiz1 - ( xd )^2
Vamos integrar de t = integrald^0 xk raiz1 - ( xd )^2 , dx até t = d^2k integral1^0 uraiz1 - u^2 , du para encontrar o tempo total t = d^2k [ -raiz1 - u^2 ]1^0 = d^2k ( -0 + 1 ) = d^2k :
Fazendo a substituição , :

Resposta

O tempo necessário para a partícula atingir o centro de força a partir de uma distância t = d^2k^2 é:

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