Um disco fino de massa M e raio R fica no plano (x, y) com o eixo z passando por seu centro. Calcule o potencial gravitacional Phi(z) e o campo gravitacional g(z)=nabla Phi no eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre calcular o potencial gravitacional Phi(z) e o campo gravitacional g(z) no eixo z para um disco fino de massa M e raio R. A matéria que vamos usar aqui é a da gravitação, especificamente o conceito de potencial gravitacional e campo gravitacional gerados por distribuições de massa. Para resolver isso, vamos precisar integrar as contribuições gravitacionais de todas as partes do disco ao longo do eixo z.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a densidade superficial de massa do disco, que é a massa por unidade de área. Como o disco é fino, podemos dizer que a densidade superficial sigma é:
sigma = Mpi R^2
Isso porque a área de um disco é pi R^2.

Passo 3

Agora, vamos pensar no disco como uma coleção de anéis concêntricos com raio r e espessura dr. A massa de um anel, dm, pode ser expressa como:
dm = sigma cdot 2pi r , dr
Aqui, 2pi r , dr é a área de um anel.

Passo 4

O próximo passo é encontrar a contribuição ao potencial gravitacional Phi(z) de um anel a uma distância z do ponto onde estamos calculando. A distância entre um ponto no anel e o ponto no eixo z é raizr^2 + z^2. Assim, a contribuição ao potencial de um anel é:
dPhi(z) = -G , dmraizr^2 + z^2
Onde G é a constante gravitacional.

Passo 5

Substituindo dm na expressão acima, temos:
dPhi(z) = -G sigma 2pi r , drraizr^2 + z^2
Agora, vamos integrar isso de r = 0 até r = R para obter o potencial total:
Phi(z) = -2 G sigma pi integral0^R r , drraizr^2 + z^2

Passo 6

Vamos resolver a integral. Faça a substituição u = r^2 + z^2, então du = 2r , dr. Isso simplifica a integral para:
Phi(z) = -2 G sigma pi [ raizr^2 + z^2 ]0^R
Calculando os limites:
Phi(z) = -2 G sigma pi ( raizR^2 + z^2 - |z| )
Como z é uma distância, consideramos z >= 0, então:
Phi(z) = -2 G sigma pi ( raizR^2 + z^2 - z )

Passo 7

Substituímos sigma pela expressão que encontramos no Passo 2:
Phi(z) = -2 G ( Mpi R^2 ) pi ( raizR^2 + z^2 - z )
As pi se cancelam:
Phi(z) = -2 G MR^2 ( raizR^2 + z^2 - z )

Passo 8

Agora, para encontrar o campo gravitacional g(z), que é o gradiente de Phi(z), vamos derivar Phi(z) em relação a z:
g(z) = dPhidz = -2 G MR^2 ( zraizR^2 + z^2 - 1 )
Simplificando:
g(z) = 2 G MR^2 ( 1 - zraizR^2 + z^2 )

Resposta

O potencial gravitacional no eixo z é dado por:
Phi(z) = -2 G MR^2 ( raizR^2 + z^2 - z )
E o campo gravitacional no eixo z é:
g(z) = 2 G MR^2 ( 1 - zraizR^2 + z^2 )

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