Um disco fino de massa
e raio
fica no plano
com o eixo
passando por seu centro. Calcule o potencial gravitacional
e o campo gravitacional
no eixo z.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre calcular o potencial gravitacional
e o campo gravitacional
no eixo
para um disco fino de massa
e raio
. A matéria que vamos usar aqui é a da gravitação, especificamente o conceito de potencial gravitacional e campo gravitacional gerados por distribuições de massa. Para resolver isso, vamos precisar integrar as contribuições gravitacionais de todas as partes do disco ao longo do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a densidade superficial de massa do disco, que é a massa por unidade de área. Como o disco é fino, podemos dizer que a densidade superficial
é:
Isso porque a área de um disco é
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no disco como uma coleção de anéis concêntricos com raio
e espessura
. A massa de um anel,
, pode ser expressa como:
Aqui,
é a área de um anel.
Passo 4
O próximo passo é encontrar a contribuição ao potencial gravitacional
de um anel a uma distância
do ponto onde estamos calculando. A distância entre um ponto no anel e o ponto no eixo
é
. Assim, a contribuição ao potencial de um anel é:
Onde
é a constante gravitacional.
Passo 5
Substituindo
na expressão acima, temos:
Agora, vamos integrar isso de
até
para obter o potencial total:
Passo 6
Vamos resolver a integral. Faça a substituição
, então
. Isso simplifica a integral para:
Calculando os limites:
Como
é uma distância, consideramos
, então:
Passo 7
Substituímos
pela expressão que encontramos no Passo 2:
As
se cancelam:
Passo 8
Agora, para encontrar o campo gravitacional
, que é o gradiente de
, vamos derivar
em relação a
:
Simplificando:
Resposta
O potencial gravitacional no eixo
é dado por:
E o campo gravitacional no eixo
é:
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