Um disco fino de massa e raio fica no plano com o eixo passando por seu centro. Calcule o potencial gravitacional e o campo gravitacional no eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre calcular o potencial gravitacional e o campo gravitacional no eixo para um disco fino de massa e raio . A matéria que vamos usar aqui é a da gravitação, especificamente o conceito de potencial gravitacional e campo gravitacional gerados por distribuições de massa. Para resolver isso, vamos precisar integrar as contribuições gravitacionais de todas as partes do disco ao longo do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a densidade superficial de massa do disco, que é a massa por unidade de área. Como o disco é fino, podemos dizer que a densidade superficial é:
Isso porque a área de um disco é .

Passo 3

Agora, vamos pensar no disco como uma coleção de anéis concêntricos com raio e espessura . A massa de um anel, , pode ser expressa como:
Aqui, é a área de um anel.

Passo 4

O próximo passo é encontrar a contribuição ao potencial gravitacional de um anel a uma distância do ponto onde estamos calculando. A distância entre um ponto no anel e o ponto no eixo é . Assim, a contribuição ao potencial de um anel é:
Onde é a constante gravitacional.

Passo 5

Substituindo na expressão acima, temos:
Agora, vamos integrar isso de até para obter o potencial total:

Passo 6

Vamos resolver a integral. Faça a substituição , então . Isso simplifica a integral para:
Calculando os limites:
Como é uma distância, consideramos , então:

Passo 7

Substituímos pela expressão que encontramos no Passo 2:
As se cancelam:

Passo 8

Agora, para encontrar o campo gravitacional , que é o gradiente de , vamos derivar em relação a :
Simplificando:

Resposta

O potencial gravitacional no eixo é dado por:
E o campo gravitacional no eixo é:

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