Uma partícula no sistema solar está sob a influência conjunta da atração gravitacional do Sol e da força devida à pressão de radiação solar. Supondo que a partícula é uma esfera com densidade de 7 g / cm^3 e que ela absorve toda a radiação incidente a) mostre que todas as partículas com raios menores do que um certo raio crítico Ro serão lançadas para fora do sistema solar. b) Calcule Ro. (Potsol = 3,9 x 10 ^26 W, M sol =1,99 times 10^30 kg, G=6,67 times 10^-11 m^3 / s^2 kg )

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma partícula no sistema solar que está sendo influenciada pela gravidade do Sol e pela pressão de radiação solar. A partícula é uma esfera com densidade de e absorve toda a radiação que incide sobre ela.
Queremos:
a) Mostrar que partículas com raios menores que um certo raio crítico serão lançadas para fora do sistema solar.
b) Calcular o valor de .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força gravitacional e pressão de radiação. Também precisaremos relacionar a massa da partícula com sua densidade e tamanho.

Passo 2

Vamos começar calculando a força gravitacional que o Sol exerce sobre a partícula. A força gravitacional é dada pela fórmula:
Fgrav = G , Msol , mr^2
onde:
  • é a constante gravitacional ( ),
  • é a massa do Sol ( ),
  • é a massa da partícula,
  • é a distância entre o Sol e a partícula.

Passo 3

Agora, vamos calcular a força de pressão de radiação que empurra a partícula para longe do Sol. A pressão de radiação ( P = Psol4 pi r^2 c ) pode ser relacionada à potência solar ( Frad = P times A ) e à área da partícula ( A = pi R^2 ) pela fórmula:
onde:
  • é a potência emitida pelo Sol ( ),
  • é a velocidade da luz ( ),
  • é novamente a distância do Sol à partícula.
A força de pressão de radiação ( ) é então:
Como a partícula é uma esfera, a área é:
onde é o raio da partícula.

Passo 4

Para que a partícula seja lançada para fora do sistema solar, a força de pressão de radiação deve ser maior que a força gravitacional:
Frad > Fgrav
Substituindo as expressões que encontramos:
Psol4 pi r^2 c times pi R^2 > G , Msol , mr^2
Podemos simplificar Psol R^24 c > G , Msol , m e :

Passo 5

Agora, precisamos expressar a massa m = rho times 43 pi R^3 da partícula em termos de sua densidade Psol R^24 c > G , Msol , rho times 43 pi R^3 e volume. Para uma esfera:
Psol4 c > G , Msol , rho times 43 pi R
Substituindo isso na inequação:
Simplificando:

Passo 6

Isolando R < Psol4 c times G , Msol , rho times 43 pi :
R < 3 Psol16 pi c G Msol rho
Simplificando os constantes:
Esse é o raio crítico abaixo do qual a pressão de radiação supera a força gravitacional, lançando a partícula para fora do sistema solar.

Resposta

Após realizar os cálculos, obtemos:
Ro approx 1,1 times 10^-6 , metros = 1,1 , mum
Portanto, partículas com raios menores que aproximadamente serão lançadas para fora do sistema solar devido à pressão de radiação superar a atração gravitacional do Sol.

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