Uma partícula no sistema solar está sob a influência conjunta da atração gravitacional do Sol e da força devida à pressão de radiação solar. Supondo que a partícula é uma esfera com densidade de
e que ela absorve toda a radiação incidente a) mostre que todas as partículas com raios menores do que um certo raio crítico Ro serão lançadas para fora do sistema solar. b) Calcule Ro. (Potsol = 3,9 x 10
,
)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma partícula no sistema solar que está sendo influenciada pela gravidade do Sol e pela pressão de radiação solar. A partícula é uma esfera com densidade de
e absorve toda a radiação que incide sobre ela.
Queremos:
a) Mostrar que partículas com raios menores que um certo raio crítico serão lançadas para fora do sistema solar.
b) Calcular o valor de .
a) Mostrar que partículas com raios menores que um certo raio crítico
b) Calcular o valor de
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força gravitacional e pressão de radiação. Também precisaremos relacionar a massa da partícula com sua densidade e tamanho.
Passo 2
Vamos começar calculando a força gravitacional que o Sol exerce sobre a partícula. A força gravitacional é dada pela fórmula:
onde:
-
é a constante gravitacional ( ), -
é a massa do Sol ( ), -
é a massa da partícula, -
é a distância entre o Sol e a partícula.
Passo 3
Agora, vamos calcular a força de pressão de radiação que empurra a partícula para longe do Sol. A pressão de radiação (
) pode ser relacionada à potência solar (
) e à área da partícula (
) pela fórmula:
onde:
-
é a potência emitida pelo Sol ( ), -
é a velocidade da luz ( ), -
é novamente a distância do Sol à partícula.
A força de pressão de radiação (
) é então:
Como a partícula é uma esfera, a área
é:
onde
é o raio da partícula.
Passo 4
Para que a partícula seja lançada para fora do sistema solar, a força de pressão de radiação deve ser maior que a força gravitacional:
Substituindo as expressões que encontramos:
Podemos simplificar
e
:
Passo 5
Agora, precisamos expressar a massa
da partícula em termos de sua densidade
e volume. Para uma esfera:
Substituindo isso na inequação:
Simplificando:
Passo 6
Isolando
:
Simplificando os constantes:
Esse
é o raio crítico
abaixo do qual a pressão de radiação supera a força gravitacional, lançando a partícula para fora do sistema solar.
Resposta
Após realizar os cálculos, obtemos:
Portanto, partículas com raios menores que aproximadamente
serão lançadas para fora do sistema solar devido à pressão de radiação superar a atração gravitacional do Sol.