Mostre que o campo elétrico devido a um dipolo p=q a, num ponto r>>a, é E=kp / r^3.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos um dipolo elétrico, que é basicamente duas cargas de iguais magnitudes mas sinais opostos, separadas por uma distância pequena . A ideia é mostrar que o campo elétrico ( ) gerado por esse dipolo em um ponto distante (quando ) é dado por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico de dipolos e algumas aproximações para simplificar os cálculos quando é muito maior que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definido um dipolo elétrico. Um dipolo é formado por duas cargas de mesmo valor absoluto, mas sinais opostos, separadas por uma distância . O momento dipolar ( ) é definido como , onde é a carga de cada partícula e é a distância entre elas.

Passo 3

Agora, para encontrar o campo elétrico total no ponto considerado, precisamos calcular o campo devido a cada carga individualmente e depois somá-los vetorialmente. Vamos chamar as cargas de e , posicionadas nas coordenadas e respectivamente ao longo do eixo dipolar.

Passo 4

Vamos considerar um ponto a uma distância do centro do dipolo, onde . Isso significa que a distância do ponto para cada carga pode ser aproximada como , simplificando nossos cálculos.

Passo 5

O campo elétrico devido à carga E+ = kqr^2 no ponto E- = -kqr^2 é dado por:
E o campo elétrico devido à carga é:

Passo 6

Como as cargas são de sinais opostos e estão alinhadas, os campos elétricos vão se adicionar. A diferença entre os campos devido às duas cargas é:
E = E+ - E- = kqr^2 + kqr^2 = 2kqr^2

Passo 7

Entretanto, precisamos considerar que essa diferença de campos ocorre devido à separação E = 2kpa r^2 entre as cargas. Como , podemos usar uma aproximação para relacionar e . O momento dipolar é , então podemos reescrever a expressão do campo elétrico em termos de :

Passo 8

Finalmente, para simplificar e considerando que E = kpr^3 , a expressão se reduz a:
Isso mostra que, para um dipolo elétrico em um ponto distante ( ), o campo elétrico é inversamente proporcional ao cubo da distância, como queríamos demonstrar.

Resposta

O campo elétrico devido a um dipolo elétrico E = kpr^3 em um ponto distante é dado por:

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