Mostre que o campo elétrico devido a um dipolo
, num ponto
, é
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos um dipolo elétrico, que é basicamente duas cargas de iguais magnitudes mas sinais opostos, separadas por uma distância pequena
. A ideia é mostrar que o campo elétrico (
) gerado por esse dipolo em um ponto distante (quando
) é dado por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico de dipolos e algumas aproximações para simplificar os cálculos quando
é muito maior que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é definido um dipolo elétrico. Um dipolo é formado por duas cargas de mesmo valor absoluto, mas sinais opostos, separadas por uma distância
. O momento dipolar (
) é definido como
, onde
é a carga de cada partícula e
é a distância entre elas.
Passo 3
Agora, para encontrar o campo elétrico total no ponto considerado, precisamos calcular o campo devido a cada carga individualmente e depois somá-los vetorialmente. Vamos chamar as cargas de
e
, posicionadas nas coordenadas
e
respectivamente ao longo do eixo dipolar.
Passo 4
Vamos considerar um ponto
a uma distância
do centro do dipolo, onde
. Isso significa que a distância do ponto
para cada carga pode ser aproximada como
, simplificando nossos cálculos.
Passo 5
O campo elétrico devido à carga
no ponto
é dado por:
E o campo elétrico devido à carga
é:
Passo 6
Como as cargas são de sinais opostos e estão alinhadas, os campos elétricos vão se adicionar. A diferença entre os campos devido às duas cargas é:
Passo 7
Entretanto, precisamos considerar que essa diferença de campos ocorre devido à separação
entre as cargas. Como
, podemos usar uma aproximação para relacionar
e
. O momento dipolar
é
, então podemos reescrever a expressão do campo elétrico em termos de
:
Passo 8
Finalmente, para simplificar e considerando que
, a expressão se reduz a:
Isso mostra que, para um dipolo elétrico em um ponto distante (
), o campo elétrico é inversamente proporcional ao cubo da distância, como queríamos demonstrar.
Resposta
O campo elétrico devido a um dipolo elétrico
em um ponto distante
é dado por: