Uma partícula é submetida à ação de uma força cujos componentes são
,
e
.
b) Calcule o trabalho realizado por esta força sobre uma partícula que se move a partir do ponto
até o ponto
. A partir desse resultado, escreva a energia potencial
.
b) Calcule o trabalho realizado por esta força sobre uma partícula que se move a partir do ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está sendo puxada por uma força com componentes
,
e
. Nosso trabalho aqui é calcular o trabalho que essa força realiza quando a partícula se move de um ponto inicial
até um ponto final
. Depois disso, vamos usar esse resultado para descobrir a energia potencial
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de trabalho de uma força e energia potencial na física, além de entender um pouco de cálculo integral, já que o trabalho é calculado integrando a força ao longo do trajeto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho realizado por uma força. Trabalho é basicamente a energia transferida para ou de um objeto quando uma força atua sobre ele ao longo de um deslocamento. Matematicamente, o trabalho
é dado pela integral da força ao longo do caminho percorrido:
Aqui,
é a força e
é um pequeno deslocamento na trajetória
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as componentes da força
:
E o deslocamento
nas coordenadas
,
e
é:
Passo 4
O próximo passo é calcular o produto escalar
:
Isso nos dará a expressão que vamos integrar ao longo do caminho.
Passo 5
Antes de integrar, precisamos escolher um caminho para a partícula ir de
até
. Como a força parece depender apenas das coordenadas locais e não do caminho, podemos assumir que é uma força conservativa. Para simplificar, escolhemos o caminho composto por três segmentos:
- De
até movendo-se apenas em . - De
até movendo-se apenas em . - De
até movendo-se apenas em .
Passo 6
Vamos calcular o trabalho em cada segmento do caminho:
Segmento 1: Movimento em
de
a
com
e
Segmento 2: Movimento em
de
a
com
e
Segmento 3: Movimento em
de
a
com
e
Passo 7
Agora, somamos os trabalhos dos três segmentos para obter o trabalho total
:
Simplificando:
Combine termos semelhantes:
Simplificando ainda mais:
Passo 8
Agora, para encontrar a energia potencial
, reconhecemos que o trabalho realizado pela força é igual à variação da energia potencial:
Assumindo que a energia potencial no ponto inicial
, temos:
Substituindo o valor de
:
Porém, para obter a expressão geral
, substituímos
,
e
por
,
e
:
Simplificando:
Resposta
O trabalho realizado pela força é
e a energia potencial correspondente é