Uma partícula é submetida à ação de uma força cujos componentes são Fx=-z e^-x, Fy=ln z e Fz=e^-x+y / z.
b) Calcule o trabalho realizado por esta força sobre uma partícula que se move a partir do ponto (0,0, zs) até o ponto (x0, y0, z0). A partir desse resultado, escreva a energia potencial V(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está sendo puxada por uma força com componentes , e . Nosso trabalho aqui é calcular o trabalho que essa força realiza quando a partícula se move de um ponto inicial até um ponto final . Depois disso, vamos usar esse resultado para descobrir a energia potencial .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de trabalho de uma força e energia potencial na física, além de entender um pouco de cálculo integral, já que o trabalho é calculado integrando a força ao longo do trajeto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho realizado por uma força. Trabalho é basicamente a energia transferida para ou de um objeto quando uma força atua sobre ele ao longo de um deslocamento. Matematicamente, o trabalho W = integralC F cdot dr é dado pela integral da força ao longo do caminho percorrido:
Aqui, é a força e é um pequeno deslocamento na trajetória .

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes da força Fx = -z e^-x, Fy = ln z, Fz = e^-x + yz :
dr = dx,i + dy,j + dz,k
E o deslocamento nas coordenadas , e é:

Passo 4

O próximo passo é calcular o produto escalar F cdot dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz = (-z e^-x) dx + (ln z) dy + ( e^-x + yz ) dz :
Isso nos dará a expressão que vamos integrar ao longo do caminho.

Passo 5

Antes de integrar, precisamos escolher um caminho para a partícula ir de até . Como a força parece depender apenas das coordenadas locais e não do caminho, podemos assumir que é uma força conservativa. Para simplificar, escolhemos o caminho composto por três segmentos:
  1. De até movendo-se apenas em .
  2. De até movendo-se apenas em .
  3. De até movendo-se apenas em .

Passo 6

Vamos calcular o trabalho em cada segmento do caminho:
Segmento 1: Movimento em W1 = integral0^x0 (-zs e^-x) dx = -zs integral0^x0 e^-x dx = -zs [ -e^-x ]0^x0 = -zs ( -e^-x0 + 1 ) = zs (1 - e^-x0) de W2 = integral0^y0 ln zs , dy = ln zs integral0^y0 dy = ln zs cdot y0 a W3 = integralzs^z0 ( e^-x0 + y0z ) dz = e^-x0 integralzs^z0 dz + y0 integralzs^z0 1z dz com W3 = e^-x0 (z0 - zs) + y0 (ln z0 - ln zs) = e^-x0 (z0 - zs) + y0 ln ( z0zs ) e
Segmento 2: Movimento em de a com e
Segmento 3: Movimento em de a com e

Passo 7

Agora, somamos os trabalhos dos três segmentos para obter o trabalho total W = W1 + W2 + W3 = zs (1 - e^-x0) + y0 ln zs + e^-x0 (z0 - zs) + y0 ln ( z0zs ) :
W = zs - zs e^-x0 + e^-x0 z0 - e^-x0 zs + y0 ln zs + y0 ln ( z0zs )
Simplificando:
W = zs + e^-x0 z0 - 2 zs e^-x0 + y0 ln zs + y0 ln z0 - y0 ln zs
Combine termos semelhantes:
W = zs + e^-x0 z0 - 2 zs e^-x0 + y0 ln z0
Simplificando ainda mais:

Passo 8

Agora, para encontrar a energia potencial W = V(0, 0, zs) - V(x0, y0, z0) , reconhecemos que o trabalho realizado pela força é igual à variação da energia potencial:
V(x0, y0, z0) = -W
Assumindo que a energia potencial no ponto inicial V(x0, y0, z0) = -( zs + e^-x0 z0 - 2 zs e^-x0 + y0 ln z0 ) , temos:
V(x, y, z) = -( zs + e^-x z - 2 zs e^-x + y ln z )
Substituindo o valor de V(x, y, z) = -zs + 2 zs e^-x - e^-x z - y ln z :
Porém, para obter a expressão geral , substituímos , e por , e :
Simplificando:

Resposta

O trabalho realizado pela força é
W = zs + e^-x0 z0 - 2 zs e^-x0 + y0 ln z0
e a energia potencial correspondente é
V(x, y, z) = -zs + 2 zs e^-x - e^-x z - y ln z

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