101 N fontes iguais de força eletromotriz mathscrE e resistência interna r podem ser ligadas em série (Fig. 27-82a) ou em paralelo (Fig. 27-82b), e o conjunto ligado a uma resistência R. Mostre que a corrente na resistência R é mesma nos dois arranjos se R=r.

Passo 1

Vamos entender o problema: Temos N fontes iguais de força eletromotriz mathscrE com resistência interna r. Essas fontes podem ser conectadas de duas maneiras diferentes: em série ou em paralelo. Depois, todo o conjunto é ligado a uma resistência externa R. Nosso objetivo é mostrar que a corrente que passa pela resistência R é a mesma nas duas configurações, desde que R seja igual a r. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos como resistência equivalente e a Lei de Ohm.

Passo 2

Conexão em Série: Quando as fontes estão em série, as resistências internas se somam. A resistência total das fontes será:
Rtotalsérie = N cdot r é
Além disso, a força eletromotriz total será a soma das forças individuais:
mathscrEtotalsérie = N cdot mathscrE é

Passo 3

Conexão em Paralelo: Quando as fontes estão em paralelo, a resistência total das fontes é dada pela resistência equivalente de resistores em paralelo:
Rtotalpara<=lo = rN
A força eletromotriz total em paralelo permanece igual à de uma única fonte:
mathscrEtotalpara<=lo = mathscrE

Passo 4

Agora, vamos calcular a corrente que passa pela resistência R em cada configuração usando a Lei de Ohm, que diz que a corrente I é igual à tensão V dividida pela resistência R:
I = VR

Passo 5

Corrente na Conexão em Série:
A tensão total no circuito em série é a força eletromotriz total menos a queda de tensão nas resistências internas:
Vsérie = mathscrEtotalsérie - Isérie cdot Rtotalsérie éééé
Substituindo as expressões:
Vsérie = N cdot mathscrE - Isérie cdot N cdot r éé
A resistência externa R está em série, então a corrente é:
Isérie = N cdot mathscrEN cdot r + R é

Passo 6

Corrente na Conexão em Paralelo:
A tensão total no circuito em paralelo é a mesma da força eletromotriz total:
Vpara<=lo = mathscrEtotalpara<=lo = mathscrE
A resistência total no paralelo é:
Rtotalpara<=lo = rN
Portanto, a corrente é:
Ipara<=lo = mathscrErN + R = mathscrEr + N cdot RN = N cdot mathscrEr + N cdot R

Passo 7

Queremos que as correntes sejam iguais nas duas configurações:
Isérie = Ipara<=lo é
Isso significa:
N cdot mathscrEN cdot r + R = N cdot mathscrEr + N cdot R
Podemos cancelar N cdot mathscrE dos dois lados:
1N cdot r + R = 1r + N cdot R
Então:
N cdot r + R = r + N cdot R

Passo 8

Vamos resolver a equação:
N cdot r + R = r + N cdot R
Subtraindo r de ambos os lados:
N cdot r + R - r = N cdot R
Fatorando r:
(N - 1) cdot r + R = N cdot R
Subtraindo R de ambos os lados:
(N - 1) cdot r = (N - 1) cdot R
Dividindo ambos os lados por (N - 1) (desde que N neq 1):
r = R

Resposta

Conseguimos mostrar que, para que a corrente na resistência R seja a mesma nas configurações em série e em paralelo, é necessário que R seja igual à resistência interna r. Ou seja, R = r.

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