Uma partícula está sujeita a um potencial , em unidades do SI. (a) Determine a força conservativa . (b) Encontre os pontos de equilíbrio estável, instável ou indiferente. © Supondo que a partícula tenha uma energia mecânica total de , analise a região em que ela pode ser encontrada. (d) Esboce os gráficos e U(x), F(x) e E.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de física! A gente tem uma partícula que está sob a influência de um potencial (em unidades do SI). O conteúdo que vamos usar aqui envolve conceitos de mecânica clássica, especificamente forças conservativas, pontos de equilíbrio e energia mecânica. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular derivadas para achar a força, analisar onde a força é zero para encontrar os pontos de equilíbrio, e examinar a energia total para determinar onde a partícula pode estar. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Determinar a força conservativa .
Primeiro, precisamos lembrar que a força conservativa está relacionada ao potencial pela relação:
Isso significa que a força é o negativo da derivada do potencial em relação à posição .
Vamos calcular a derivada de :
Agora, aplicando a relação para a força:
Então, a força conservativa é:

Passo 3

Parte (b): Encontrar os pontos de equilíbrio estável, instável ou indiferente.
Pontos de equilíbrio ocorrem onde a força é zero, ou seja, onde .
Usando a expressão que encontramos para :
Podemos fatorar:
Isso nos dá as soluções:
Então, temos três pontos de equilíbrio: , , e .
Agora, vamos determinar a estabilidade desses pontos. Para isso, analisamos a segunda derivada do potencial, que nos diz se o ponto é um mínimo (estável), máximo (instável) ou ponto de inflexão (indiferente).
Calculando a segunda derivada de :
Avaliaremos em cada ponto de equilíbrio:
  • Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de equilíbrio instável.
  • Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de equilíbrio estável.
  • Para :
Assim, também é um ponto de equilíbrio estável.

Passo 4

Parte ©: Analisar a região onde a partícula pode ser encontrada, dado que a energia mecânica total é .
A energia mecânica total da partícula é a soma da energia cinética ( ) e da energia potencial ( ):
Como a energia cinética é sempre positiva ou zero ( ), para que a partícula tenha energia mecânica total de , devemos ter:
Então, precisamos encontrar os valores de para os quais .
Vamos resolver a inequação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 0,25:
Agora, vamos resolver a equação quadrática em termos de :
Calculando o discriminante:
As raízes são:
Então,
Esses valores de determinam os intervalos onde . Portanto, a partícula pode ser encontrada nos intervalos de que satisfazem essa condição.

Passo 5

Parte (d): Esboçar os gráficos de , e .
Como não podemos desenhar aqui, vou descrever como os gráficos devem se parecer:
  • Gráfico de :
    • É uma função até quarta grau com termos pares, então a curva é simétrica em relação ao eixo y.
    • Tem um mínimo em e um máximo em .
    • A curva tem forma de “W”, subindo para valor positivo conforme se afasta de zero.
  • Gráfico de :
    • Também é uma função ímpar, simétrica em relação à origem.
    • Cruza o eixo x nos pontos de equilíbrio: e .
    • Tem pontos de inflexão onde a força muda de direção.
  • Gráfico da energia :
    • É uma linha horizontal no valor de .
    • Intersecciona o gráfico de nos pontos onde a energia da partícula é igual ao potencial.

Resposta

(a) A força conservativa é .
(b) Os pontos de equilíbrio são:
  • (instável)
  • (estável)
  • (estável)
© Com energia mecânica total de , a partícula pode ser encontrada nos intervalos de onde , ou seja, nos valores de que satisfazem .
(d) Os gráficos de e possuem simetria e pontos de equilíbrio conforme descrito, enquanto a energia é representada por uma linha horizontal que intersecta nos pontos permitidos para a posição da partícula.

Exercícios relacionados

As duas questões seguintes se referem à situação descrita abaixo.
Considere a situaçăo mostrada na figura abaixo. Um bloco de massa é puxado para a esquerda com uma força se move com velocidade constante. Não há atrito entre os blocos de massa e de massa , mas há atrito entre o bloco de massa e o chão. O bloco de massa năo se move, pois está ligado por uma corda à parede. Use e .
12) Suponha agora que não há atrito entre o bloco de massa e o chão, mas há atrito entre os dois blocos. Como o coeficiente de atrito cinético entre os dois blocos se compara ao valor encontrado na questão anterior?
(a) é maior
(b)é menor
© é o mesmo
Um carro de 1200 kg viaja inicialmente a , em pista plana, quando o motorista freia bruscamente, até parar. (a) Aplique o TTE para calcular o trabalho total durante a frenagem. (b) Calcule o deslocamento do carro durante a freada. © Determine o coeficiente de atrito entre os pneus e a pista.
  1. Uma massa de está presa a uma mola horizontal com . A massa desliza sobre uma superficie sem atrito. A mola é esticada de do equilibrio e, então, a massa é liberada do repouso. Qual é a energia mecânica do sistema?
    (a) 25 J
    (b) 12 J
    ©
    (cd)
    (e)
Resolva o problema da máquina de Atwood (Fig.2), utilizando conceitos de ENERGIA, para obter a velocidade final de uma massa que desce uma altura enquanto sobe a mesma altura. Considere o sistema ideal (a massa da polia é desprezível e o fio é inextensível).