Uma partícula está sujeita a um potencial U(x)=8 x^4-4 x^2, em unidades do SI. (a) Determine a força conservativa F(x). (b) Encontre os pontos de equilíbrio estável, instável ou indiferente. © Supondo que a partícula tenha uma energia mecânica total de -0,25 J, analise a região em que ela pode ser encontrada. (d) Esboce os gráficos e U(x), F(x) e E.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de física! A gente tem uma partícula que está sob a influência de um potencial (em unidades do SI). O conteúdo que vamos usar aqui envolve conceitos de mecânica clássica, especificamente forças conservativas, pontos de equilíbrio e energia mecânica. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular derivadas para achar a força, analisar onde a força é zero para encontrar os pontos de equilíbrio, e examinar a energia total para determinar onde a partícula pode estar. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Determinar a força conservativa F(x) = -dUdx .
Primeiro, precisamos lembrar que a força conservativa está relacionada ao potencial pela relação:
dUdx = ddx(8x^4) - ddx(4x^2) = 32x^3 - 8x
Isso significa que a força é o negativo da derivada do potencial em relação à posição F(x) = -dUdx = - (32x^3 - 8x) = -32x^3 + 8x .
Vamos calcular a derivada de F(x) = 8x - 32x^3 :
Agora, aplicando a relação para a força:
Então, a força conservativa é:

Passo 3

Parte (b): Encontrar os pontos de equilíbrio estável, instável ou indiferente.
Pontos de equilíbrio ocorrem onde a força é zero, ou seja, onde 8x - 32x^3 = 0 .
Usando a expressão que encontramos para 8x(1 - 4x^2) = 0 :
8x = 0 Rightarrow x = 0
Podemos fatorar:
1 - 4x^2 = 0 Rightarrow x^2 = 14 Rightarrow x = pm 12
Isso nos dá as soluções:
d^2Udx^2 = ddx(32x^3 - 8x) = 96x^2 - 8
d^2Udx^2 = 96(0)^2 - 8 = -8 < 0
Então, temos três pontos de equilíbrio: d^2Udx^2 = 96(12)^2 - 8 = 96 cdot 14 - 8 = 24 - 8 = 16 > 0 , d^2Udx^2 = 96(-12)^2 - 8 = 96 cdot 14 - 8 = 24 - 8 = 16 > 0 , e .
Agora, vamos determinar a estabilidade desses pontos. Para isso, analisamos a segunda derivada do potencial, que nos diz se o ponto é um mínimo (estável), máximo (instável) ou ponto de inflexão (indiferente).
Calculando a segunda derivada de :
Avaliaremos em cada ponto de equilíbrio:
  • Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de equilíbrio instável.
  • Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de equilíbrio estável.
  • Para :
Assim, também é um ponto de equilíbrio estável.

Passo 4

Parte ©: Analisar a região onde a partícula pode ser encontrada, dado que a energia mecânica total é E = K + U(x) .
A energia mecânica total U(x) <= E = -0,25 , J da partícula é a soma da energia cinética ( 8x^4 - 4x^2 + 0,25 <= 0 ) e da energia potencial ( 32x^4 - 16x^2 + 1 <= 0 ):
32y^2 - 16y + 1 = 0
Como a energia cinética é sempre positiva ou zero ( De), para que a partícula tenha energia mecânica total de y = 16 pm raiz12864 = 16 pm 8raiz264 = 2 pm raiz28 , devemos ter:
x^2 = 2 pm raiz28 Rightarrow x = pm raiz2 pm raiz28
Então, precisamos encontrar os valores de para os quais .
Vamos resolver a inequação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 0,25:
Agora, vamos resolver a equação quadrática em termos de :
Calculando o discriminante:
As raízes são:
Então,
Esses valores de determinam os intervalos onde . Portanto, a partícula pode ser encontrada nos intervalos de que satisfazem essa condição.

Passo 5

Parte (d): Esboçar os gráficos de , e .
Como não podemos desenhar aqui, vou descrever como os gráficos devem se parecer:
  • Gráfico de :
    • É uma função até quarta grau com termos pares, então a curva é simétrica em relação ao eixo y.
    • Tem um mínimo em e um máximo em .
    • A curva tem forma de “W”, subindo para valor positivo conforme se afasta de zero.
  • Gráfico de :
    • Também é uma função ímpar, simétrica em relação à origem.
    • Cruza o eixo x nos pontos de equilíbrio: e .
    • Tem pontos de inflexão onde a força muda de direção.
  • Gráfico da energia :
    • É uma linha horizontal no valor de .
    • Intersecciona o gráfico de nos pontos onde a energia da partícula é igual ao potencial.

Resposta

(a) A força conservativa é .
(b) Os pontos de equilíbrio são:
  • (instável)
  • (estável)
  • (estável)
© Com energia mecânica total de , a partícula pode ser encontrada nos intervalos de onde , ou seja, nos valores de que satisfazem .
(d) Os gráficos de e possuem simetria e pontos de equilíbrio conforme descrito, enquanto a energia é representada por uma linha horizontal que intersecta nos pontos permitidos para a posição da partícula.

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