Uma partícula está sujeita a um potencial
, em unidades do SI. (a) Determine a força conservativa
. (b) Encontre os pontos de equilíbrio estável, instável ou indiferente. © Supondo que a partícula tenha uma energia mecânica total de
, analise a região em que ela pode ser encontrada. (d) Esboce os gráficos e U(x), F(x) e E.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de física! A gente tem uma partícula que está sob a influência de um potencial
(em unidades do SI). O conteúdo que vamos usar aqui envolve conceitos de mecânica clássica, especificamente forças conservativas, pontos de equilíbrio e energia mecânica. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular derivadas para achar a força, analisar onde a força é zero para encontrar os pontos de equilíbrio, e examinar a energia total para determinar onde a partícula pode estar. Vamos lá!
Passo 2
Parte (a): Determinar a força conservativa
.
Primeiro, precisamos lembrar que a força conservativa está relacionada ao potencial pela relação:
Isso significa que a força é o negativo da derivada do potencial em relação à posição
.
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, aplicando a relação para a força:
Então, a força conservativa é:
Passo 3
Parte (b): Encontrar os pontos de equilíbrio estável, instável ou indiferente.
Pontos de equilíbrio ocorrem onde a força é zero, ou seja, onde
.
Usando a expressão que encontramos para
:
Podemos fatorar:
Isso nos dá as soluções:
Então, temos três pontos de equilíbrio:
,
, e
.
Agora, vamos determinar a estabilidade desses pontos. Para isso, analisamos a segunda derivada do potencial, que nos diz se o ponto é um mínimo (estável), máximo (instável) ou ponto de inflexão (indiferente).
Calculando a segunda derivada de
:
Avaliaremos em cada ponto de equilíbrio:
- Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um ponto de equilíbrio instável.
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um ponto de equilíbrio estável.
- Para
:
Assim,
também é um ponto de equilíbrio estável.
Passo 4
Parte ©: Analisar a região onde a partícula pode ser encontrada, dado que a energia mecânica total é
.
A energia mecânica total
da partícula é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
):
Como a energia cinética é sempre positiva ou zero (
), para que a partícula tenha energia mecânica total de
, devemos ter:
Então, precisamos encontrar os valores de
para os quais
.
Vamos resolver a inequação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 0,25:
Agora, vamos resolver a equação quadrática em termos de
:
Calculando o discriminante:
As raízes são:
Então,
Esses valores de
determinam os intervalos onde
. Portanto, a partícula pode ser encontrada nos intervalos de
que satisfazem essa condição.
Passo 5
Parte (d): Esboçar os gráficos de
,
e
.
Como não podemos desenhar aqui, vou descrever como os gráficos devem se parecer:
-
Gráfico de
: - É uma função até quarta grau com termos pares, então a curva é simétrica em relação ao eixo y.
- Tem um mínimo em
e um máximo em . - A curva tem forma de “W”, subindo para valor positivo conforme
se afasta de zero.
-
Gráfico de
: - Também é uma função ímpar, simétrica em relação à origem.
- Cruza o eixo x nos pontos de equilíbrio:
e . - Tem pontos de inflexão onde a força muda de direção.
-
Gráfico da energia
: - É uma linha horizontal no valor de
. - Intersecciona o gráfico de
nos pontos onde a energia da partícula é igual ao potencial.
- É uma linha horizontal no valor de
Resposta
(a) A força conservativa é
.
(b) Os pontos de equilíbrio são:
-
(instável) -
(estável) -
(estável)
© Com energia mecânica total de
, a partícula pode ser encontrada nos intervalos de
onde
, ou seja, nos valores de
que satisfazem
.
(d) Os gráficos de
e
possuem simetria e pontos de equilíbrio conforme descrito, enquanto a energia
é representada por uma linha horizontal que intersecta
nos pontos permitidos para a posição da partícula.
Exercícios relacionados
As duas questões seguintes se referem à situação descrita abaixo.
Considere a situaçăo mostrada na figura abaixo. Um bloco de massa é puxado para a esquerda com uma força
se move com velocidade constante. Não há atrito entre os blocos de massa
e de massa
, mas há atrito entre o bloco de massa
e o chão. O bloco de massa
năo se move, pois está ligado por uma corda à parede. Use
e
.
12) Suponha agora que não há atrito entre o bloco de massa e o chão, mas há atrito entre os dois blocos. Como o coeficiente de atrito cinético entre os dois blocos se compara ao valor encontrado na questão anterior?
(a) é maior
(b)é menor
© é o mesmo
Considere a situaçăo mostrada na figura abaixo. Um bloco de massa
12) Suponha agora que não há atrito entre o bloco de massa
(a) é maior
(b)é menor
© é o mesmo
Um carro de 1200 kg viaja inicialmente a
, em pista plana, quando o motorista freia bruscamente, até parar. (a) Aplique o TTE para calcular o trabalho total durante a frenagem. (b) Calcule o deslocamento
do carro durante a freada. © Determine o coeficiente de atrito entre os pneus e a pista.
- Uma massa de
está presa a uma mola horizontal com . A massa desliza sobre uma superficie sem atrito. A mola é esticada de do equilibrio e, então, a massa é liberada do repouso. Qual é a energia mecânica do sistema?
(a) 25 J
(b) 12 J
©
(cd)
(e)
Resolva o problema da máquina de Atwood (Fig.2), utilizando conceitos de ENERGIA, para obter a velocidade final de uma massa
que desce uma altura
enquanto
sobe a mesma altura. Considere o sistema ideal (a massa da polia é desprezível e o fio é inextensível).