Resolva o problema da máquina de Atwood (Fig.2), utilizando conceitos de ENERGIA, para obter a velocidade final de uma massa M que desce uma altura H enquanto m sobe a mesma altura. Considere o sistema ideal (a massa da polia é desprezível e o fio é inextensível).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma máquina de Atwood com duas massas: que desce uma altura e que sobe a mesma altura . Usando conceitos de energia, queremos encontrar a velocidade final de após descer essa altura. Para resolver, vamos precisar aplicar a conservação da energia mecânica, considerando que o sistema é ideal (sem atrito e com o fio inextensível).

Passo 2

Vamos considerar a energia potencial gravitacional das duas massas inicialmente e a energia cinética final do sistema. Quando desce, sua energia potencial diminui, enquanto sobe e sua energia potencial aumenta. A energia total perdida por será igual à energia total ganhada por , mais a energia cinética do sistema.

Passo 3

A energia potencial inicial de é , e a energia potencial inicial de é (já que está subindo). A energia cinética inicial é zero, já que o sistema parte do repouso.

Passo 4

A energia cinética final do sistema é dada por , onde é a velocidade final que queremos encontrar.

Passo 5

Aplicando a conservação da energia:
UM,i + Um,i = Kf
Substituindo os valores:
M g H - m g H = 12 (M + m) v^2

Passo 6

Simplificando a equação:
(M - m) g H = 12 (M + m) v^2
Multiplicando ambos os lados por 2:
2 (M - m) g H = (M + m) v^2

Passo 7

Isolando v^2 = 2 (M - m) g HM + m :
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

v = raiz 2 (M - m) g HM + m

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