Uma partícula, também em movimento unidimensional, possui aceleração dada por .
a) Sabendo-se que no instante a velocidade da partícula é nula, calcule a velocidade da partícula em um instante qualquer. Qual a velocidade da partícula para ? E para
b) Sabendo-se ainda que no instante a partícula está na posição , calcule a posição da partícula num instante qualquer. Qual a posição para ? E para .)
c) Onde a partícula pára? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?( R: e e . Com os gráficos de v x t é possível responder às demais perguntas.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de uma partícula em uma dimensão com uma aceleração que depende do tempo, dada por . Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente a integração da aceleração para encontrar a velocidade e da velocidade para encontrar a posição. Também vamos precisar aplicar condições iniciais para resolver as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula em qualquer instante . Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade, então para achar a velocidade, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Integrando termo a termo:
Agora, usamos a informação de que no instante , a velocidade é nula ( ) para encontrar a constante :
Então, a expressão da velocidade fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade nos instantes e usando a expressão que encontramos:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a posição da partícula em qualquer instante . Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
Integrando termo a termo:
Usamos a condição inicial de que no instante , a posição é para encontrar a constante :
Então, a expressão da posição fica:

Passo 5

Vamos calcular a posição nos instantes e usando a expressão que encontramos:
Para :
Para :

Passo 6

Para descobrir onde a partícula para, precisamos encontrar quando a velocidade é zero. Vamos resolver :
As soluções são e .
Para saber onde o movimento é acelerado ou retardado, observamos a aceleração :
  • Acelerado quando . Como é positivo, .
  • Retardado quando .
Sobre ir ou voltar:
  • Indo quando . Pelo cálculo, para , .
  • Voltando quando . Entre e , a velocidade é negativa.

Resposta

a) A velocidade da partícula é . Para , ; para , .
b) A posição da partícula é . Para , ; para , .
c) A partícula para em e . O movimento é acelerado para e retardado para . A partícula está indo quando e voltando quando .

Exercícios relacionados

Seja o movimento de uma partícula sobre o eixo x. A posição da partícula em cada instante é dada por (t é medido em segundos e x em metros).
a) Qual a posição da partícula no instante ? E no instante ? E para t infinito? ( R : ;
b) Em que instantes a partícula pára? ( )
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado? ( R : retardado acelerado acelerado .)
d) Calcule . ( R:
Uma bola de pingue-pongue tem diâmetro de e densidade média de . Qua força é necessária para manter a bola completamente submersa sob a água?
A posição de uma partícula em movimento é dada por , onde b , c e são constantes. Descreva a órbita da partícula. ( R: Trajetória é uma elipse que corta os eixos x e y, respectivamente, em b e c. O movimento ocorre no sentido antihorário. Lembrete: para a elipse, teremos: )
Suponha uma partícula de massa m e que se move sob ação de uma força . Obtenha se a partícula estava inicialmente em repouso na origem. (