Uma partícula, também em movimento unidimensional, possui aceleração dada por
.
a) Sabendo-se que no instante
a velocidade da partícula é nula, calcule a velocidade da partícula em um instante qualquer. Qual a velocidade da partícula para
? E para
b) Sabendo-se ainda que no instante
a partícula está na posição
, calcule a posição da partícula num instante qualquer. Qual a posição para
? E para
.)
c) Onde a partícula pára? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?( R:
e
e
. Com os gráficos de v x t é possível responder às demais perguntas.)
a) Sabendo-se que no instante
b) Sabendo-se ainda que no instante
c) Onde a partícula pára? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?( R:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de uma partícula em uma dimensão com uma aceleração que depende do tempo, dada por
. Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente a integração da aceleração para encontrar a velocidade e da velocidade para encontrar a posição. Também vamos precisar aplicar condições iniciais para resolver as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula em qualquer instante
. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade, então para achar a velocidade, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Integrando termo a termo:
Agora, usamos a informação de que no instante
, a velocidade é nula (
) para encontrar a constante
:
Então, a expressão da velocidade fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade nos instantes
e
usando a expressão que encontramos:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a posição da partícula em qualquer instante
. Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
Integrando termo a termo:
Usamos a condição inicial de que no instante
, a posição é
para encontrar a constante
:
Então, a expressão da posição fica:
Passo 5
Vamos calcular a posição nos instantes
e
usando a expressão que encontramos:
Para
:
Para
:
Passo 6
Para descobrir onde a partícula para, precisamos encontrar quando a velocidade é zero. Vamos resolver
:
As soluções são
e
.
Para saber onde o movimento é acelerado ou retardado, observamos a aceleração
:
- Acelerado quando
. Como é positivo, . - Retardado quando
.
Sobre ir ou voltar:
- Indo quando
. Pelo cálculo, para , . - Voltando quando
. Entre e , a velocidade é negativa.
Resposta
a) A velocidade da partícula é
. Para
,
; para
,
.
b) A posição da partícula é
. Para
,
; para
,
.
c) A partícula para em
e
. O movimento é acelerado para
e retardado para
. A partícula está indo quando
e voltando quando
.
Exercícios relacionados
Seja o movimento de uma partícula sobre o eixo x. A posição da partícula em cada instante é dada por
(t é medido em segundos e x em metros).
a) Qual a posição da partícula no instante ? E no instante
? E para t infinito? ( R :
;
b) Em que instantes a partícula pára? ( )
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado? ( R : retardado acelerado
acelerado
.)
d) Calcule . ( R:
a) Qual a posição da partícula no instante
b) Em que instantes a partícula pára? (
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado? ( R : retardado
d) Calcule
Uma bola de pingue-pongue tem diâmetro de
e densidade média de
. Qua força é necessária para manter a bola completamente submersa sob a água?
A posição de uma partícula em movimento é dada por
, onde b , c e
são constantes. Descreva a órbita da partícula. ( R: Trajetória é uma elipse que corta os eixos x e y, respectivamente, em b e c. O movimento ocorre no sentido antihorário. Lembrete: para a elipse, teremos:
)
Suponha uma partícula de massa m e que se move sob ação de uma força
. Obtenha
se a partícula estava inicialmente em repouso na origem. (