Seja o movimento de uma partícula sobre o eixo x. A posição da partícula em cada instante é dada por
(t é medido em segundos e x em metros).
a) Qual a posição da partícula no instante
? E no instante
? E para t infinito? ( R :
;
b) Em que instantes a partícula pára? (
)
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado? ( R : retardado
acelerado
acelerado
.)
d) Calcule
. ( R:
a) Qual a posição da partícula no instante
b) Em que instantes a partícula pára? (
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado? ( R : retardado
d) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo do eixo x, e a posição dela em qualquer instante de tempo
é dada pela função
. O que essa questão quer que a gente faça é analisar diferentes aspectos desse movimento: descobrir posições específicas, descobrir quando a partícula para, entender se o movimento está acelerando ou retardando, e calcular a aceleração da partícula. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento das partículas sem se preocupar com as causas desse movimento.
Passo 2
Parte a) Posição da partícula em instantes específicos
Primeiro, vamos encontrar a posição da partícula em
segundos,
segundo e para
tendendo ao infinito.
Para
:
Basta substituir na função
:
Basta substituir
Para
:
Substituindo :
Substituindo
Para
tendendo ao infinito (
):
Observando a função , o termo de maior grau é
. Conforme
aumenta sem limites,
domina e, portanto,
tende para
.
Observando a função
Passo 3
Parte b) Instantes em que a partícula para
A partícula para quando sua velocidade é zero. A velocidade
é a derivada da posição em relação ao tempo:
Para encontrar quando a partícula para, igualamos
a zero:
Dividindo toda a equação por 3:
Fatorando:
Portanto,
segundos e
segundos.
Passo 4
Parte c) Região de movimento acelerado e retardado
Para analisar se o movimento está acelerado ou retardado, precisamos olhar para a aceleração
, que é a derivada da velocidade:
Agora, vamos analisar o sinal de
:
- Acelerado: quando
- Retardado: quando
Vamos resolver
:
Então, o comportamento é:
-
Para
segundos: -
Para
segundos:
Além disso, considerando os instantes onde a partícula para (
e
segundos):
- Entre
e segundos, a aceleração ainda é negativa. - Entre
e segundos, a aceleração passa a ser positiva.
Portanto, as regiões são:
-
Retardado:
-
Acelerado:
Passo 5
Parte d) Cálculo da aceleração
Como já calculamos anteriormente, a aceleração é a derivada da velocidade
, que por sua vez é a derivada da posição
.
Primeiro, encontramos
:
Agora, derivamos
para obter
:
Resposta
a) A posição da partícula em
é
; em
é
; e para
tendendo ao infinito,
tende a
.
b) A partícula para nos instantes
e
.
c) O movimento é retardado nas regiões
e
; e acelerado nas regiões
e
.
d) A aceleração da partícula é dada por
.
Exercícios relacionados
Uma bola de pingue-pongue tem diâmetro de
e densidade média de
. Qua força é necessária para manter a bola completamente submersa sob a água?
Mostre que
é constante para o movimento circular uniforme.
Uma partícula, também em movimento unidimensional, possui aceleração dada por
.
a) Sabendo-se que no instante a velocidade da partícula é nula, calcule a velocidade da partícula em um instante qualquer. Qual a velocidade da partícula para
? E para
b) Sabendo-se ainda que no instante a partícula está na posição
, calcule a posição da partícula num instante qualquer. Qual a posição para
? E para
.)
c) Onde a partícula pára? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?( R: e
e
. Com os gráficos de v x t é possível responder às demais perguntas.)
a) Sabendo-se que no instante
b) Sabendo-se ainda que no instante
c) Onde a partícula pára? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?( R:
A posição de uma partícula em movimento é dada por
, onde b , c e
são constantes. Descreva a órbita da partícula. ( R: Trajetória é uma elipse que corta os eixos x e y, respectivamente, em b e c. O movimento ocorre no sentido antihorário. Lembrete: para a elipse, teremos:
)