Seja o movimento de uma partícula sobre o eixo x. A posição da partícula em cada instante é dada por (t é medido em segundos e x em metros).
a) Qual a posição da partícula no instante ? E no instante ? E para t infinito? ( R : ;
b) Em que instantes a partícula pára? ( )
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado? ( R : retardado acelerado acelerado .)
d) Calcule . ( R:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo do eixo x, e a posição dela em qualquer instante de tempo é dada pela função . O que essa questão quer que a gente faça é analisar diferentes aspectos desse movimento: descobrir posições específicas, descobrir quando a partícula para, entender se o movimento está acelerando ou retardando, e calcular a aceleração da partícula. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento das partículas sem se preocupar com as causas desse movimento.

Passo 2

Parte a) Posição da partícula em instantes específicos

Primeiro, vamos encontrar a posição da partícula em segundos, segundo e para tendendo ao infinito.
Para :
Basta substituir na função :
Para :
Substituindo :
Para tendendo ao infinito ( ):
Observando a função , o termo de maior grau é . Conforme aumenta sem limites, domina e, portanto, tende para .

Passo 3

Parte b) Instantes em que a partícula para

A partícula para quando sua velocidade é zero. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Para encontrar quando a partícula para, igualamos a zero:
Dividindo toda a equação por 3:
Fatorando:
Portanto, segundos e segundos.

Passo 4

Parte c) Região de movimento acelerado e retardado

Para analisar se o movimento está acelerado ou retardado, precisamos olhar para a aceleração , que é a derivada da velocidade:
Agora, vamos analisar o sinal de :
  • Acelerado: quando
  • Retardado: quando
Vamos resolver :
Então, o comportamento é:
  • Para segundos:
  • Para segundos:
Além disso, considerando os instantes onde a partícula para ( e segundos):
  • Entre e segundos, a aceleração ainda é negativa.
  • Entre e segundos, a aceleração passa a ser positiva.
Portanto, as regiões são:
  • Retardado:
  • Acelerado:

Passo 5

Parte d) Cálculo da aceleração

Como já calculamos anteriormente, a aceleração é a derivada da velocidade , que por sua vez é a derivada da posição .
Primeiro, encontramos :
Agora, derivamos para obter :

Resposta

a) A posição da partícula em é ; em é ; e para tendendo ao infinito, tende a .
b) A partícula para nos instantes e .
c) O movimento é retardado nas regiões e ; e acelerado nas regiões e .
d) A aceleração da partícula é dada por .

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a) Sabendo-se que no instante a velocidade da partícula é nula, calcule a velocidade da partícula em um instante qualquer. Qual a velocidade da partícula para ? E para
b) Sabendo-se ainda que no instante a partícula está na posição , calcule a posição da partícula num instante qualquer. Qual a posição para ? E para .)
c) Onde a partícula pára? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?( R: e e . Com os gráficos de v x t é possível responder às demais perguntas.)
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