Partículas são emitidas por uma fonte radioativa. Suponha que o número de tais partículas emitidas durante um período de uma hora tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Um dispositivo contador é empregado para registrar o número dessas partículas. Se mais de 30 partículas chegarem durante qualquer período de uma hora, o dispositivo registrador é incapaz de registrar o excesso e simplesmente registra 30. Se Y for a variável aleatória definida como o número de partículas registradas pelo dispositivo contador, determine a distribuição de probabilidade de Y.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está dizendo. Temos partículas emitidas por uma fonte radioativa, e o número de partículas emitidas em uma hora segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Isso significa que a probabilidade de emitir exatamente
partículas é dada pela fórmula da Poisson. Usaremos essa informação para descobrir a distribuição da variável aleatória
, que representa o número de partículas que o dispositivo contador registra. O dispositivo tem um limite: se mais de 30 partículas chegarem em uma hora, ele só registra 30.
Passo 2
Vamos lembrar o que é uma distribuição de Poisson. Para uma variável aleatória
que segue Poisson com parâmetro
, a probabilidade de
ser igual a
é:
Isso vai nos ajudar a calcular as probabilidades individuais.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como o dispositivo contador funciona. Se o número de partículas emitidas
for menor ou igual a 30, o dispositivo registra exatamente
. Mas se
for maior que 30, ele só registra 30. Então, a variável
pode assumir valores de 0 até 30.
Passo 4
Vamos dividir a distribuição de
em dois casos:
-
Quando
é menor que 30: Nesse caso, o dispositivo registrou exatamente o número de partículas emitidas, ou seja, . Então, a probabilidade de para é a mesma que a probabilidade de . -
Quando
é igual a 30: Aqui, o dispositivo registrou 30 mesmo que mais partículas tenham sido emitidas. Então, a probabilidade de é a soma das probabilidades de ser 30 ou mais.
Passo 5
Aplicando isso, temos:
-
Para
: -
Para
:
Resposta
A distribuição de probabilidade de
é dada por: