Partículas são emitidas por uma fonte radioativa. Suponha que o número de tais partículas emitidas durante um período de uma hora tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Um dispositivo contador é empregado para registrar o número dessas partículas. Se mais de 30 partículas chegarem durante qualquer período de uma hora, o dispositivo registrador é incapaz de registrar o excesso e simplesmente registra 30. Se Y for a variável aleatória definida como o número de partículas registradas pelo dispositivo contador, determine a distribuição de probabilidade de Y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está dizendo. Temos partículas emitidas por uma fonte radioativa, e o número de partículas emitidas em uma hora segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Isso significa que a probabilidade de emitir exatamente k partículas é dada pela fórmula da Poisson. Usaremos essa informação para descobrir a distribuição da variável aleatória Y, que representa o número de partículas que o dispositivo contador registra. O dispositivo tem um limite: se mais de 30 partículas chegarem em uma hora, ele só registra 30.

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma distribuição de Poisson. Para uma variável aleatória X que segue Poisson com parâmetro lambda, a probabilidade de X ser igual a k é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Isso vai nos ajudar a calcular as probabilidades individuais.

Passo 3

Agora, vamos pensar em como o dispositivo contador funciona. Se o número de partículas emitidas X for menor ou igual a 30, o dispositivo registra exatamente X. Mas se X for maior que 30, ele só registra 30. Então, a variável Y pode assumir valores de 0 até 30.

Passo 4

Vamos dividir a distribuição de Y em dois casos:
  1. Quando Y é menor que 30: Nesse caso, o dispositivo registrou exatamente o número de partículas emitidas, ou seja, Y = X. Então, a probabilidade de Y = y para y = 0, 1, 2, dots, 29 é a mesma que a probabilidade de X = y.
  2. Quando Y é igual a 30: Aqui, o dispositivo registrou 30 mesmo que mais partículas tenham sido emitidas. Então, a probabilidade de Y = 30 é a soma das probabilidades de X ser 30 ou mais.

Passo 5

Aplicando isso, temos:
  • Para y = 0, 1, 2, dots, 29:
    P(Y = y) = P(X = y) = e^-lambda lambda^yy!
  • Para y = 30:
    P(Y = 30) = P(X >= 30) = 1 - P(X <= 29) = 1 - sumk=0^29 e^-lambda lambda^kk!

Resposta

A distribuição de probabilidade de Y é dada por:
P(Y = y) = e^-lambda lambda^yy!, & para y = 0, 1, 2, dots, 29 1 - sumk=0^29 e^-lambda lambda^kk!, & para y = 30

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