Partículas são emitidas por uma fonte radioativa. Suponha que o número de tais partículas emitidas durante um período de uma hora tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro . Um dispositivo contador é empregado para registrar o número dessas partículas. Se mais de 30 partículas chegarem durante qualquer período de uma hora, o dispositivo registrador é incapaz de registrar o excesso e simplesmente registra 30. Se Y for a variável aleatória definida como o número de partículas registradas pelo dispositivo contador, determine a distribuição de probabilidade de Y.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está dizendo. Temos partículas emitidas por uma fonte radioativa, e o número de partículas emitidas em uma hora segue uma distribuição de Poisson com parâmetro . Isso significa que a probabilidade de emitir exatamente partículas é dada pela fórmula da Poisson. Usaremos essa informação para descobrir a distribuição da variável aleatória , que representa o número de partículas que o dispositivo contador registra. O dispositivo tem um limite: se mais de 30 partículas chegarem em uma hora, ele só registra 30.
Passo 2
Vamos lembrar o que é uma distribuição de Poisson. Para uma variável aleatória que segue Poisson com parâmetro , a probabilidade de ser igual a é:
Isso vai nos ajudar a calcular as probabilidades individuais.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como o dispositivo contador funciona. Se o número de partículas emitidas for menor ou igual a 30, o dispositivo registra exatamente . Mas se for maior que 30, ele só registra 30. Então, a variável pode assumir valores de 0 até 30.
Passo 4
Vamos dividir a distribuição de em dois casos:
Quando é menor que 30: Nesse caso, o dispositivo registrou exatamente o número de partículas emitidas, ou seja, . Então, a probabilidade de para é a mesma que a probabilidade de .
Quando é igual a 30: Aqui, o dispositivo registrou 30 mesmo que mais partículas tenham sido emitidas. Então, a probabilidade de é a soma das probabilidades de ser 30 ou mais.