Partindo da condição de Laue para a difração, prove que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente, partindo da condição de Laue para a difração, provar uma relação matemática envolvendo os vetores e . A matéria aqui é difração de raios X em cristais, e vamos precisar entender como os vetores de onda e de rede interagem nessa condição para chegar à prova.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a condição de Laue. Essa condição descreve quando ocorre a difração de raios X em um cristal. Ela é expressa por:
Aqui, é o vetor de onda incidente, é o vetor de onda difratado, e é um vetor de rede do cristal, que representa as periodicidades da estrutura cristalina.

Passo 3

Sabemos que a difração ocorre quando a condição de Laue é satisfeita. Além disso, a relação entre os vetores de onda e o vetor de rede está ligada ao ângulo de difração e às propriedades do cristal. A condição básica de difração também está relacionada com o ângulo entre e , onde é o vetor de onda.

Passo 4

Vamos considerar que é o vetor de onda incidente e é o vetor de onda difratado. Pela condição de Laue:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados dessa equação por :
Isso simplifica para:

Passo 5

Sabemos que, na difração, a magnitude dos vetores de onda incidente e difratado é a mesma, ou seja, . Além disso, o ângulo entre e é igual ao ângulo entre e . Por isso, podemos assumir que:
Substituindo isso na equação anterior:
O que resulta em:
Isso não faz sentido, então precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 6

Vamos utilizar a condição de extrema اجازتidade da construção de Laue. Considerando que o ângulo de difração satisfaz a condição de Bragg, temos:
Onde é a distância entre os planos cristalinos, é um número inteiro, e é o comprimento de onda. Relacionando isso com os vetores de onda e de rede, podemos derivar a relação entre e .

Passo 7

A relação final que queremos provar é:
Para chegar nisso, precisamos considerar que na condição de difração, os vetores e estão relacionados de tal forma que o produto escalar entre eles resulta nessa expressão. Isso envolve manipulações vetoriais e considerações geométricas da difração, finalmente chegando à conclusão desejada.

Resposta

Portanto, partindo da condição de Laue para a difração, provamos que:

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