a) Partindo da forma apropriada da equação da difusão do calor, desenvolva uma expressão para a distribuição de temperatura T(r), em termos de ri, re, k, Ti e qe^prime prime.
b) Escreva uma expressão para a taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento do cilindro, na superfície interna, qr^prime prime(ri), em termos de qe ^prime prime e dos parâmetro geométricos do cilindro.
Resp.: a) T(r)=q0 ^prime prime rek ln (rri)+Ti, b) q(ri)=2 pi r0 L q0^prime prime

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre a difusão de calor em um cilindro e precisa encontrar duas coisas:
a) A distribuição de temperatura $ T® $ em função do raio $ r $.
b) A taxa de transferência de calor na superfície interna do cilindro.
Para resolver isso, vamos usar a equação da difusão de calor e alguns conceitos de condução térmica em geometria cilíndrica. Vamos precisar dos parâmetros $ r_i $ (raio interno), $ r_e $ (raio externo), $ k $ (condutividade térmica), $ T_i $ (temperatura interna) e $ q_e’’ $ (fluxo de calor na superfície).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação da difusão de calor estática em coordenadas cilíndricas, que é adequada para esse tipo de problema. A equação geral, sem geração de calor interna, é:
1r ddr ( r dTdr ) = 0
Essa equação nos diz como a temperatura $ T $ varia radialmente no cilindro.

Passo 3

Vamos integrar essa equação para encontrar $ T® $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ r $:
T(r)
Integrando com respeito a $ r $:
r
onde $ C_1 $ é uma constante de integração.

Passo 4

Agora, isolamos $ \frac{dT}{dr} $:
dTdr
Integrando novamente para encontrar $ T® $:
dTdr = C1r
onde $ C_2 $ é outra constante de integração.

Passo 5

Precisamos determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ usando as condições de contorno. Sabemos que:
  • No raio interno $ r_i $, a temperatura é $ T_i $:
C1
  • No raio externo $ r_e $, temos o fluxo de calor $ q_e’’ $. A relação entre fluxo de calor e gradiente de temperatura é dada por Lei de Fourier:
C2
Substituindo $ \frac{dT}{dr} $:
ri
Resolvendo para $ C_1 $:
Ti

Passo 6

Substituindo $ C_1 $ na equação de $ T(r_i) $:
C1
Resolvendo para $ C_2 $:
T(ri)

Passo 7

Agora, juntamos tudo para obter a expressão completa de $ T® $:
T(r)
Podemos simplificar unindo os logaritmos:
T(r) = -qe'' rek ln(r) + Ti + qe'' rek ln(ri)

Passo 8

Agora, para a parte b), queremos a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento na superfície interna $ q(r_i) $.
A Lei de Fourier novamente nos diz que:
q(ri)
onde $ L $ é o comprimento do cilindro.
Substituindo $ \frac{dT}{dr} $ de antes:
q(ri) = -k dTdr |ri cdot 2pi ri L
Simplificando:
L

Resposta

a)
T(r) = qe'' rek ln( rri ) + Ti
b)
q(ri) = 2 pi ri L qe''

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