a) Partindo da forma apropriada da equação da difusão do calor, desenvolva uma expressão para a distribuição de temperatura
, em termos de
e
.
b) Escreva uma expressão para a taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento do cilindro, na superfície interna,
, em termos de
e dos parâmetro geométricos do cilindro.
Resp.: a)
, b)
b) Escreva uma expressão para a taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento do cilindro, na superfície interna,
Resp.: a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre a difusão de calor em um cilindro e precisa encontrar duas coisas:
a) A distribuição de temperatura $ T® $ em função do raio $ r $.
b) A taxa de transferência de calor na superfície interna do cilindro.
Para resolver isso, vamos usar a equação da difusão de calor e alguns conceitos de condução térmica em geometria cilíndrica. Vamos precisar dos parâmetros $ r_i $ (raio interno), $ r_e $ (raio externo), $ k $ (condutividade térmica), $ T_i $ (temperatura interna) e $ q_e’’ $ (fluxo de calor na superfície).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação da difusão de calor estática em coordenadas cilíndricas, que é adequada para esse tipo de problema. A equação geral, sem geração de calor interna, é:
Essa equação nos diz como a temperatura $ T $ varia radialmente no cilindro.
Passo 3
Vamos integrar essa equação para encontrar $ T® $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ r $:
Integrando com respeito a $ r $:
onde $ C_1 $ é uma constante de integração.
Passo 4
Agora, isolamos $ \frac{dT}{dr} $:
Integrando novamente para encontrar $ T® $:
onde $ C_2 $ é outra constante de integração.
Passo 5
Precisamos determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ usando as condições de contorno. Sabemos que:
- No raio interno $ r_i $, a temperatura é $ T_i $:
- No raio externo $ r_e $, temos o fluxo de calor $ q_e’’ $. A relação entre fluxo de calor e gradiente de temperatura é dada por Lei de Fourier:
Substituindo $ \frac{dT}{dr} $:
Resolvendo para $ C_1 $:
Passo 6
Substituindo $ C_1 $ na equação de $ T(r_i) $:
Resolvendo para $ C_2 $:
Passo 7
Agora, juntamos tudo para obter a expressão completa de $ T® $:
Podemos simplificar unindo os logaritmos:
Passo 8
Agora, para a parte b), queremos a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento na superfície interna $ q(r_i) $.
A Lei de Fourier novamente nos diz que:
onde $ L $ é o comprimento do cilindro.
Substituindo $ \frac{dT}{dr} $ de antes:
Simplificando:
Resposta
a)
b)